\section{基础MOS器件物理}

\subsection{MOS器件结构}

MOSFET为4端器件，常用电路符号如图 \ref{fig:MOSFET常用电路符号} 所示\\
若省略体端则认为：NMOS体端接GND，PMOS体端接GND

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \begin{subfigure}[b]{0.48\textwidth}
        \begin{center}
        \begin{circuitikz}
            \renewcommand{\myvarx}{2.5}
            \draw (2*\myvarx,-0) node[nmos] (nmos3)  {} (nmos3.G) node[left]{G} (nmos3.D) node[above]{D} (nmos3.S) node[below]{S};
            \ctikzset{tripoles/mos style/arrows}
            \draw (1*\myvarx,-0) node[nmos] (nmos2)  {} (nmos2.G) node[left]{G} (nmos2.D) node[above]{D} (nmos2.S) node[below]{S};
            \draw (0*\myvarx,-0) node[nmos,bulk] (nmos1) {} (nmos1.G) node[left]{G} (nmos1.D) node[above]{D} 
            (nmos1.S) node[below]{S} (nmos1.bulk) node[right]{B};
        \end{circuitikz}
        \end{center}
        \caption{NMOS常用符号}
        \label{fig:NMOS常用符号}
    \end{subfigure}
    \hfill 
    \begin{subfigure}[b]{0.48\textwidth}
        \begin{center}
        \begin{circuitikz}
            \renewcommand{\myvarx}{2.5}
            \ctikzset{tripoles/pmos style/emptycircle}
            \draw (2*\myvarx,-0) node[pmos] (pmos3)  {} (pmos3.G) node[left]{G} (pmos3.D) node[below]{D} (pmos3.S) node[above]{S};
            \ctikzset{tripoles/mos style/arrows}
            \ctikzset{tripoles/pmos style/nocircle}
            \draw (1*\myvarx,-0) node[pmos] (pmos2)  {} (pmos2.G) node[left]{G} (pmos2.D) node[below]{D} (pmos2.S) node[above]{S};
            \draw (0*\myvarx,-0) node[pmos,bulk] (pmos1) {} (pmos1.G) node[left]{G} (pmos1.D) node[below]{D}
            (pmos1.S) node[above]{S} (pmos1.bulk) node[right]{B};
        \end{circuitikz}
        \end{center}
        \caption{PMOS常用符号}
        \label{fig:PMOS常用符号}
    \end{subfigure}
    \caption{MOSFET常用电路符号}
    \label{fig:MOSFET常用电路符号}
\end{figure}

MOS器件结构如图 \ref{fig:MOS器件基本结构} 所示
\begin{enum}
    \item 设计参数：沟道宽度 $W$，沟道长度 $L_{\rm drawn}$
    \item 工艺参数：栅氧厚度 $t_{\rm ox}$，掺杂浓度 $N_{\rm sub}$
\end{enum}

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.10]{figures/MOS器件结构.pdf}
    \caption{MOS器件基本结构}
    \label{fig:MOS器件基本结构}
\end{figure}

CMOS工艺中MOS器件结构如图 \ref{fig:一般CMOS工艺与深N阱CMOS工艺} 所示，常用p型衬底
\begin{enum}
    \item 一般的CMOS工艺：不同n阱中的PMOS体端电势可以不同，所有NMOS共用同一个体端
    \item 深n阱CMOS工艺：使NMOS也处于阱中从而体端电势可以不同，减少串扰噪声，成本更高
\end{enum}

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.50]{figures/一般CMOS工艺与深N阱CMOS工艺.pdf}
    \caption{一般CMOS工艺、深N阱CMOS工艺}
    \label{fig:一般CMOS工艺与深N阱CMOS工艺}
\end{figure}


\subsection{MOS伏安特性}

MOS阈值电压计算公式：
\begin{align*}
&V_{\rm TH} = \phi_{\rm MS} + 2\phi_{\rm F} + \frac{Q_{\rm dep}}{C_{\rm ox}}\\
&\phi_{\rm F} = \frac{kT}{q} \ln \left(\frac{N_{\rm sub}}{n_{\rm i}}\right) \\
&Q_{\rm dep}  = \sqrt{2q\varepsilon_{\rm Si}N_{\rm sub}|2\phi_{\rm F}|}
\end{align*}

MOS伏安特性
$$
\text{\color{blue}NMOS}\qquad 
I_{\rm D} = \left\{
\begin{aligned}
    &0, & 0 < V_{\rm GS} < V_{\rm TH} 
    \qquad \text{\color{blue}截止区}\\
    &\frac{\mu_nC_{\rm ox}}{2}\frac{W}{L} \left[2(V_{\rm GS}-V_{\rm TH})V_{\rm DS} - V_{\rm DS}^2\right],  
    &V_{\rm DS} < V_{\rm GS} - V_{\rm TH},\; V_{\rm GS} > V_{\rm TH} > 0
    \qquad \text{\color{blue}线性区}\\
    &\frac{\mu_nC_{\rm ox}}{2}\frac{W}{L}(V_{\rm GS}-V_{\rm TH})^2,
    &V_{\rm DS} > V_{\rm GS} - V_{\rm TH},\; V_{\rm GS} > V_{\rm TH} > 0
    \qquad \text{\color{blue}饱和区}\\
\end{aligned}
\right.
$$
$$
\text{\color{blue}PMOS}\qquad 
I_{\rm D} = \left\{
\begin{aligned}
    &0, & 0 > V_{\rm GS} > V_{\rm TH} 
    \qquad \text{\color{blue}截止区}\\
    &\frac{\mu_pC_{\rm ox}}{2}\frac{W}{L} \left[2(V_{\rm GS}-V_{\rm TH})V_{\rm DS} - V_{\rm DS}^2\right],  
    &V_{\rm DS} > V_{\rm GS} - V_{\rm TH},\; V_{\rm GS} < V_{\rm TH} < 0
    \qquad \text{\color{blue}线性区}\\
    &\frac{\mu_pC_{\rm ox}}{2}\frac{W}{L}(V_{\rm GS}-V_{\rm TH})^2,
    &V_{\rm DS} < V_{\rm GS} - V_{\rm TH},\; V_{\rm GS} < V_{\rm TH} < 0
    \qquad \text{\color{blue}饱和区}\\
\end{aligned}
\right.
$$

在饱和区沟道漏端$Q=0$发生夹断，再增加的$V_{\rm DS}$ 加在沟道夹断区，沟道有效区$L'$两端电压不变\\
对于长沟道器件，认为 $L'=L$ 则饱和区$I_{\rm D}$ 维持线性区最大值

在$V_{\rm DS} \ll V_{\rm GS} - V_{\rm TH}$ 时为深线性区，此时$I_{\rm D} \propto V_{\rm DS}$，近似为线性电阻
\begin{align*}
    &I_{\rm D} \approx \mu_nC_{\rm ox} \frac{W}{L} (V_{\rm GS} - V_{\rm TH}) V_{\rm DS} &
    &\Longrightarrow &
    &R_{\rm on} = \frac{V_{\rm DS}}{I_{\rm DS}} = \left[\mu_nC_{\rm ox}\frac{W}{L}(V_{\rm GS} - V_{\rm TH})\right]^{-1}
\end{align*}

\subsection{MOS小信号模型}
符号约定
\begin{enum}
    \item 直流偏置：大写符号大写下标 $V_{\rm GS}$
    \item 小信号量：小写符号小写下标 $v_{\rm gs}$
    \item 瞬态总量：大写符号小写下标 $V_{\rm gs}=V_{\rm GS} + v_{\rm gs}$
\end{enum}

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[width=0.8\textwidth]{figures/MOS放大器及其小信号线性模型.png}
    \caption{简单MOS放大器及其小信号线性模型}
    \label{fig:简单MOS放大器及其小信号线性模型}
\end{figure}
%\begin{figure}[htpb]
%    \centering
%    \begin{subfigure}[b]{0.4\textwidth}
%    \centering
%    \begin{circuitikz}
%        \ctikzset{tripoles/mos style/arrows}
%        \draw (0,0) node[nmos] (nmos1) {};
%        \draw (nmos1.G) to[short, -o] ++(-0.3,0) node[left] {$V_{\rm in}$};
%        \draw (nmos1.D) to[R=$R_{\rm D}$] ++(0,1.5) node[vcc]{VDD};
%        \draw (nmos1.D) to[short, -o] ++(1,0) node[right] {$V_{\rm out}$};
%        \draw (nmos1.S) node[sground] {};
%    \end{circuitikz}
%    \caption{最简NMOS放大器电路}
%    \label{fig:最简NMOS放大器电路}
%    \end{subfigure}
%    \hfill
%    \begin{subfigure}[b]{0.4\textwidth}
%    \centering
%    \begin{circuitikz}
%    \end{circuitikz}
%    \caption{MOS线性小信号等效模型电路}
%    \label{fig:MOS线性小信号等效模型电路}
%    \end{subfigure}
%    \caption{MOS小信号模型}
%    \label{fig:MOS小信号模型}
%\end{figure}

对如图 \ref{fig:简单MOS放大器及其小信号线性模型} 所示电路
输入 $V_{\rm in} = V_{\rm B} + v_{\rm in} = V_{\rm B} + v_{\rm a}\sin(\omega t)$\\
假定NMOS处于饱和区，则：
\begin{align*}
    I_{\rm d} &= \frac{\mu_nC_{\rm ox}}{2} \frac{W}{L} (V_{\rm in} - V_{\rm TH})^2  \\
              &= \frac{\mu_nC_{\rm ox}}{2} \frac{W}{L} \big[(V_{\rm B} - V_{\rm TH}) + v_{\rm a}\sin(\omega t)\big]^2  \\
              &= I_{\rm D} + \mu_nC_{\rm ox} \frac{W}{L} (V_{\rm B} - V_{\rm TH})v_{\rm a}\sin(\omega t) 
                 + \frac{\mu_nC_{\rm ox}}{2} \frac{W}{L} \big[v_{\rm a}\sin(\omega t)\big]^2
\end{align*}
上式第一项为直流偏置，第二项为小信号放大线性项，第三项为小信号放大非线性项\\
由于第三项较小通常忽略不计，则线性项即为$i_{\rm d}$
\begin{align*}
    i_{\rm d} = {\color{blue}\mu_{\rm n}C_{\rm ox} \frac{W}{L} (V_{\rm B} - V_{\rm TH})} \cdot v_{\rm in}
%    v_{\rm out} = -i_{\rm d}R_{\rm D} 
%    = -R_{\rm D}{\color{red} \mu_nC_{\rm ox} \frac{W}{L} (V_{\rm B} - V_{\rm TH})}\cdot v_{\rm in}
\end{align*}
在忽略非线性项时，电路对小信号线性放大，从电压到电流的放大系数为上式蓝色部分，记为跨导 $g_{\rm m}$
\begin{align*}
&i_{\rm d} = g_{\rm m}v_{\rm in} &    
&v_{\rm out} = -i_{\rm d} R_{\rm D} = -g_{\rm m}R_{\rm D} \cdot v_{\rm in} 
\end{align*}
因此，在忽略非线性项时电路可等效为图 \ref{fig:简单MOS放大器及其小信号线性模型} 右侧线性小信号模型

跨导 $g_{\rm m}$ 表示 $V_{\rm GS}$ 对 $I_{\rm D}$ 的控制能力，在饱和区有：
$$
\begin{aligned}
    g_{\rm m} &= \left.\frac{\partial I_{\rm D}}{\partial V_{\rm GS}}\right|_{\rm V_{\rm DS}} \\ 
              &= \mu_nC_{\rm ox}\frac{W}{L} (V_{\rm GS} - V_{\rm TH}) \\
              &= \sqrt{2\mu_nC_{\rm ox} \frac{W}{L} I_{\rm D}}\\
              &= \frac{2I_{\rm D}}{V_{\rm GS} - V_{\rm TH}}
\end{aligned}
$$

在 $W/L$，$I_{\rm D}$，$V_{\rm GS} - V_{\rm TH}$ 中有且仅由两个是独立的，如图 \ref{fig:跨导变化曲线} 所示
\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.10]{figures/跨导变化曲线.pdf}
    \caption{跨导变化曲线}
    \label{fig:跨导变化曲线}
\end{figure}

\subsection{MOS二级效应}
\subsubsection{体效应}

体效应影响耗尽层电荷
\begin{align*}
    Q_{\rm dep0} &= \sqrt{2q\varepsilon_{\rm Si}N_{\rm sub}|2\phi_{\rm F}|} &
                 &\longrightarrow &
    Q_{\rm dep}  &= \sqrt{2q\varepsilon_{\rm Si}N_{\rm sub}|2\phi_{\rm F}+V_{\rm SB}|}
\end{align*}
体效应影响阈值电压
$$
\begin{aligned}
    V_{\rm TH} &= \phi_{\rm MS} + 2\phi_{F} + \frac{Q_{\rm dep}}{C_{\rm ox}} \\
               &= V_{\rm TH0} + {\color{blue}\frac{\sqrt{2q\varepsilon_{\rm Si}N_{\rm sub}}}{C_{\rm ox}} }
               \left(\sqrt{2\phi_{\rm F} + V_{\rm SB}} - \sqrt{2\phi_{\rm F}}\right) \\
               &= V_{\rm TH0} + {\color{blue}\gamma} 
               \left(\sqrt{2\phi_{\rm F} + V_{\rm SB}} - \sqrt{2\phi_{\rm F}}\right) \\
\end{aligned}
$$
其中 $\gamma$ 为体效应因子，NMOS 典型值为 $0.4\;\rm V^{0.5}$，PMOS 典型值为 $-0.4\;\rm V^{0.5}$

体效应跨导 $g_{\rm mb}$ 表示体电压对 $I_{\rm D}$ 的影响，在饱和区可以得到：
$$
g_{\rm mb} = \frac{\partial I_{\rm D}}{\partial V_{\rm BS}} = \frac{\gamma}{2\sqrt{2\phi_{\rm F}+V_{\rm SB}}} g_{\rm m} 
= \eta g_{\rm m}
$$

体效应对小信号模型的影响如图 \ref{fig:考虑体效应的MOS小信号模型} 所示：漏极增加受体电压控制的电流源
\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[width=0.65\textwidth]{figures/考虑体效应的MOS小信号模型.png}
    \caption{考虑体效应的MOS小信号模型}
    \label{fig:考虑体效应的MOS小信号模型}
\end{figure}

\subsubsection{沟道长度调制效应}
在饱和区随 $V_{\rm DS}$ 增加 $L'$ 减小，假定 $L' = L - \Delta L$，则：
$$
\frac{1}{L'} = \frac{1}{L} \cdot \frac{1}{1-\Delta L/L} \approx \frac{1+\Delta L/L}{L}
$$
假定 $\Delta L/L = \lambda V_{\rm DS}$ 且 $\lambda$ 为常数，则饱和区 $I_{\rm D}$ 公式可改写为：
$$
I_{\rm D} = \frac{\mu_nC_{\rm ox}}{2} \frac{W}{L} (V_{\rm GS} - V_{\rm TH})^2 \cdot (1+\lambda V_{\rm DS})
$$
这样，饱和区 $I_{\rm D}$ 与 $V_{\rm DS}$ 不再无关，而是成线性关系\\
不论 $V_{\rm GS}$ 的值为多少，此直线与横轴交与 $V_{\rm DS} = -1/\lambda$ 处，如图 \ref{fig:沟道长度调制效应} 所示\\
$V_{\rm A} = -1/\lambda$ 又称为 Early 电压
\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[width=0.6\textwidth]{figures/沟道长度调制效应.png}
    \caption{沟道长度调制效应}
    \label{fig:沟道长度调制效应}
\end{figure}

在对饱和区 $I_{\rm D}$ 公式增加系数 $1+\lambda V_{\rm DS}$ 后，线性区与饱和区边界处 $I_{\rm D}$ 出现不连续\\
在更复杂的理论中，此问题得到解决

从下式可以看出，短沟道器件的沟道长度调制效应更加严重
$$
\lambda = \frac{1}{L} \frac{\Delta L}{V_{\rm DS}} {\color{blue} \quad\propto\quad \frac{1}{L}}
$$

\begin{quote}
    在沟道长度非常短时，线性近似 $\Delta L/L = \lambda V_{\rm DS}$ 不再可靠
\end{quote}

在考虑沟道长度调制效应时，MOS在饱和区不再是理想的受控电流源，其输出电流$I_{\rm D}$与输出电压$V_{\rm DS}$ 有关\\
其输出电阻 $r_{\rm o}$ 不再是无穷，因此MOS小信号模型需要添加输出电阻，如图 \ref{fig:考虑沟道长度调制效应的MOS小信号模型} 所示
$$
r_{\rm o} = \frac{\partial V_{\rm DS}}{\partial I_{\rm D}} = \frac{1}{\partial I_{\rm D}/\partial V_{\rm DS}}
=1 \bigg/ \left[\frac{\mu_nC_{\rm ox}}{2} \frac{W}{L} (V_{\rm GS}-V_{\rm TH})^2 \lambda\right]
\approx \frac{1}{\lambda\cdot I_{\rm D}}
$$

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[width=0.8\textwidth]{figures/考虑沟道长度调制效应的MOS小信号模型.png}
    \caption{考虑沟道长度调制效应的MOS小信号模型}
    \label{fig:考虑沟道长度调制效应的MOS小信号模型}
\end{figure}

\subsubsection{亚阈值电流}
在 $V_{\rm GS} < V_{\rm TH}$ 时 
$$
I_{\rm D} = I_0 \exp\left(\frac{V_{\rm GS}}{\zeta V_{T}}\right),
\qquad\big(\zeta>1,\quad V_{\rm DS} > 4 V_{T} \approx 100\;{\rm mV}\big)
$$
其中 $V_{T} = kT/q \approx 26\;\rm mV$ 为热电势

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/亚阈值电流.pdf}
    \caption{亚阈值区电流与栅压的关系}
    \label{fig:亚阈值区电流与栅压的关系}
\end{figure}

亚阈值区跨导
$$
g_{\rm m} = \frac{1}{\zeta V_{T}} I_0 \exp\left( \frac{V_{\rm GS}}{\zeta V_{T}}\right)
= \frac{I_{\rm D}}{\zeta V_{T}}
\quad\propto\quad I_{\rm D}
$$
饱和区 $g_{\rm m} \propto \sqrt{I_{\rm D}}$

\subsubsection{寄生电容}

\paragraph{MOS物理结构中的寄生电容}
MOS器件中的寄生电容如图 \ref{fig:MOS器件中的寄生电容} 所示
\begin{enum}
\item \makebox[4.05cm][l]{栅与沟道间的氧化层电容} $C_1 = WL C_{\rm ox}$
\item \makebox[4.05cm][l]{体与沟道间的耗尽层电容} $C_2 = \sqrt{2\varepsilon_{\rm Si}N_{\rm sub} / (4\phi_{\rm F})}$
\item \makebox[4.05cm][l]{栅与源漏间的交叠电容  } $C_3 = C_4 = W C_{\rm ov}$
\item \makebox[4.05cm][l]{体与源漏间的结电容    } $C_5,\; C_6$
\end{enum}

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/MOS器件中的寄生电容.pdf}
    \caption{MOS器件中的寄生电容}
    \label{fig:MOS器件中的寄生电容}
\end{figure}

源漏与体之间的结电容分为两部分
\begin{enum}
\item 底板电容（单位面积 $C_{\rm j}$）
\item 侧壁电容（单位长度 $C_{\rm jsw}$）
\end{enum}

\begin{quote}
    $C_{\rm j},\,C_{\rm jsw}$ 与pn结偏置电压有关
\end{quote}

对于不同的器件结构其结电容需分别讨论，如图 \ref{fig:两种不同MOS版图的结电容} 所示\\
左侧MOS结构的源漏结电容为 
\begin{align*}
    C_{\rm DB} = C_{\rm SB} = WEC_{\rm j} + 2(W+E)C_{\rm jsw}
\end{align*}
右侧MOS结构的源漏结电容为
\begin{align*}
    C_{\rm DB} &= \frac{W}{2} E C_{\rm j} + 2\left(\frac{W}{2} + E\right) C_{\rm jsw} \\ 
    C_{\rm SB} &= 2\left[\frac{W}{2} E C_{\rm j} + 2\left(\frac{W}{2} + E\right) C_{\rm jsw} \right]
\end{align*}

\begin{quote}
    如图 \ref{fig:两种不同MOS版图的结电容} 右侧所示结构不但会改变源漏寄生电容大小，也会使寄生输入电阻减小
\end{quote}

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/两种不同MOS版图的结电容.pdf}
    \caption{两种不同MOS版图的结电容}
    \label{fig:两种不同MOS版图的结电容}
\end{figure}



\paragraph{MOS电路模型中的寄生电容}
MOS寄生电容的电路模型如图 \ref{fig:MOS寄生电容的电路模型} 所示\\
在不同工况下各寄生电容的取值状况不同，需分类讨论

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/MOS寄生电容模型.pdf}
    \caption{MOS寄生电容的电路模型}
    \label{fig:MOS寄生电容的电路模型}
\end{figure}

在截止区
\begin{enum}
\item 栅与源漏：交叠电容 $C_{\rm GD} = C_{\rm GS} = WC_{\rm ov}$
\item 栅与衬底：氧化层电容与耗尽层电容串联 $C_{\rm GB} = C_{\rm ox} // C_{\rm dep}$
\item 体与源漏：结电容
\end{enum}

在饱和区，$C_{\rm GD}$ 维持交叠电容，$C_{\rm GS}$ 另加一部分沟道电容
\begin{enum}
\item 栅与漏极：交叠电容 $C_{\rm GD} = WC_{\rm ov}$
\item 栅与源极：交叠电容加沟道电容 $C_{\rm GS} = WC_{\rm ov} + 2WLC_{\rm ox}/3$
\item 栅与衬底：被反型层屏蔽，忽略不计
\item 体与源漏：结电容
\end{enum}

在深线性区，栅与沟道间电容被源漏平分
\begin{enum}
\item 栅与源漏：交叠电容加沟道电容 $C_{\rm GD} = C_{\rm GS} = WC_{\rm ov} + WLC_{\rm ox}/2$
\item 栅与衬底：被反型层屏蔽，忽略不计
\item 体与源漏：结电容
\end{enum}

以上最重要的是栅与源漏之间的电容，其变化关系如图 \ref{fig:MOS栅-源漏之间的电容变化曲线} 所示\\
可见：饱和区 $C_{\rm GS}$ 比 $C_{\rm GD}$ 大得多

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/MOS寄生电容变化曲线.pdf}
    \caption{MOS栅与源漏之间的电容变化曲线}
    \label{fig:MOS栅-源漏之间的电容变化曲线}
\end{figure}

在考虑MOS寄生电容时的小信号等效模型如图 \ref{fig:考虑寄生电容的MOS小信号模型} 所示\\
其中 $C_{\rm GB},\; C_{\rm SB},\; C_{\rm DB}$ 经常忽略不计

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/MOS完整小信号模型.pdf}
    \caption{考虑寄生电容的MOS小信号模型}
    \label{fig:考虑寄生电容的MOS小信号模型}
\end{figure}

\section{单级放大器}
本章主要对以下几类CMOS单级放大器做低频大信号分析
\begin{enum}
    \item 共源结构
    \item 共栅结构
    \item 源跟随器
    \item 共源共栅结构
\end{enum}

\subsection{基础概念}

\subsubsection{理想放大器}
理想的电压放大器需有如下特性
\begin{enum}
    \item 线性（无限大幅值与频率范围内无失真）
    \item 无穷大输入阻抗
    \item 无穷大驱动能力
\end{enum}

\begin{quote}
    电流放大器期望输入阻抗为$0$，输出阻抗为 $+\infty$
\end{quote}

实际放大器的各类性能参数：
\begin{enum}
\item 供电电压 $V_{\rm DD}$
\item 直流工作点电压范围 
\item 小信号电压增益 
\item 输入输出阻抗 
\item 频率响应 
\item 噪声 
\item 线性度
\item 功率与耗电 
\item 版图面积
\end{enum}

\subsubsection{小信号电路模型}

电路接受输入信号 $V_{\rm in} = V_{\rm B} + v_{\rm in}$，各处的电学量 $V, I$ 均发生变化
\begin{align*}
    V &= V_0 + \Delta V & 
    I &= I_0 + \Delta I
\end{align*}
各处电压电流变化量 $\Delta V, \Delta I$ 由输入变化量 $v_{\rm in}$ 以一定的函数关系决定\\
若 $v_{\rm in}$ 很小，可认为所有 $\Delta V, \Delta I$ 与 $v_{\rm in}$ 有 $y=kx$ 的线性关系\\
继而去除 $\Delta$ 符号，用一个线性电路模型来表现 $v_{\rm in}$ 与电路各处 $V, I$ 之间的关系\\
这样就可以利用线性电路的理论来近似求解非线性电路的小信号响应

例如对于任何不变电势点$\Delta V = 0$，在小信号电路模型中表现为 $V = 0$ 即GND，称为交流地

\subsection{共源放大器}

共源放大器：信号由栅极输入，由漏极输出（源极接交流地）

\subsubsection{电阻作负载的共源放大器}

电阻作负载的共源放大器的结构、传输特性、小信号模型如图 \ref{fig:电阻负载型共源放大器} 所示

虽然实际电路图中 $R_{\rm D}$ 接 $V_{\rm DD}$ 但小信号模型中 $R_{\rm D}$ 却与 GND 相连\\
本质上小信号等效电路描述的是原电路各处电学量的增量 $\Delta V,\;\Delta I$，并用线性电路元件表述他们之间的关系\\
因此原电路中的任何恒定直流电平在小信号模型中均体现为 GND

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/电阻负载型共源放大器.pdf}
    \caption{电阻作负载的共源放大器}
    \label{fig:电阻负载型共源放大器}
\end{figure}

\paragraph{直流电压传输特性}

分析其\emph{直流}电压传输特性：
\begin{enum}
\item $ 0 < V_{\rm in} < V_{\rm TH}$ 时NMOS关断，$V_{\rm out} = V_{\rm DD}$
\item $V_{\rm TH} < V_{\rm in} < V_{\rm in1}$ 时为饱和区
    $$
    V_{\rm out} = V_{\rm DD} - R_{\rm D} \cdot \frac{\mu_nC_{\rm ox}}{2} \frac{W}{L} (V_{\rm in} - V_{\rm TH})^2
    $$
\item $V_{\rm in} > V_{\rm in1}$ 时为线性区
\end{enum}

\begin{quote}
$V_{\rm in} = V_{\rm in1}$ 时 $V_{\rm out} = V_{\rm in1} - V_{\rm TH}$ 可解得 $V_{\rm in1}$
\end{quote}

常用饱和区做小信号的近似线性放大
\begin{enum}
    \item 电压传输特性曲线上，饱和区一段线性程度较好
    \item 电压传输特性曲线上，饱和区一段增益较大（饱和区跨导较大）
\end{enum}

\paragraph{小信号增益分析}
在饱和区，此电路的小信号增益 $A_{v}$ 为
$$
A_{v} = \frac{\partial V_{\rm out}}{\partial V_{\rm in}} = -R_{\rm D} \mu_nC_{\rm ox} \frac{W}{L} (V_{\rm in} - V_{\rm TH})
= -g_{\rm m} R_{\rm D}
$$

利用小信号模型也可得到其增益
$$
\begin{aligned}
    v_{\rm out} = -g_{\rm m} v_{\rm in} \cdot R_{\rm D}
    \qquad\Longrightarrow\qquad 
    A_{v} = \frac{v_{\rm out}}{v_{\rm in}} = -g_{\rm m} R_{\rm D}
\end{aligned}
$$

若考虑沟道长度调制效应，则电阻负载型共源放大器的小信号等效模型如图 
\ref{fig:考虑沟道长度调制的电阻负载型共源放大器的小信号模型} 所示\\
此时的增益为：
$$
A_v = \frac{v_{\rm out}}{v_{\rm in}} = -g_m \cdot ( r_{\rm o} \parallel R_{\rm D} ) \approx -g_{\rm m} R_{\rm D}
$$

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[width=0.4\textwidth]{figures/考虑沟道长度调制的电阻负载共源放大器小信号模型.png}
    \caption{考虑沟道长度调制的电阻负载型共源放大器的小信号模型}
    \label{fig:考虑沟道长度调制的电阻负载型共源放大器的小信号模型}
\end{figure}

下面分析NMOS跨导 $g_{\rm m}$ 与直流工作点的关系\\
由于小信号增益 $A_v \propto g_{\rm m}$，这也是 $A_v$ 的变化趋势

在饱和区 $g_{\rm m}$ 与 $V_{\rm in}$ 成线性关系
$$
g_{\rm m} = \mu_nC_{\rm ox} \frac{W}{L} (V_{\rm in} - V_{\rm TH})
$$
在线性区，由于 $V_{\rm GS}$ 变化会引起 $V_{\rm DS}$ 变化，$g_{\rm m}$ 变化趋势较复杂，可证明如下：
$$
g_{\rm m}=\frac{\mu_n C_{o x}(W / L) R_D }{1+\mu_n C_{o x}(W / L) R_D\left(V_{\text {in }}-V_{\rm TH}-V_{\text{out}}\right)}
$$
综上可绘制 $g_{\rm m} - V_{\rm in}$ 关系曲线如图 \ref{fig:电阻负载型共源放大器跨导变化曲线} 所示，这也是小信号增益变化趋势\\
小信号增益在饱和区与线性区交界处达到最大

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/电阻负载型共源放大器跨导变化曲线.pdf}
    \caption{电阻作负载的共源放大器跨导变化曲线}
    \label{fig:电阻负载型共源放大器跨导变化曲线}
\end{figure}

只有在交流分量足够小时增益才能大致维持不变，从而实现近似线性放大\\
当输入的交流分量较大时（甚至使放大器进入线性区）则 $g_{\rm m}$ 剧烈变化，使得信号严重失真，
如图 \ref{fig:输入大信号时跨导变化使信号失真} 所示

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/大信号下跨导变化使信号失真.pdf}
    \caption{输入大信号时跨导剧烈变化使信号失真}
    \label{fig:输入大信号时跨导变化使信号失真}
\end{figure}

\paragraph{小信号增益优化}

从$V_{\rm out} - V_{\rm in}$ 曲线考察提高小信号增益（使斜率增大）的可行方法
\begin{enum}
\item 削弱上拉使曲线变陡（增大 $R_{\rm D}$）
\item 增强下拉使曲线变陡（增大 $W/L$）
\item 移动直流点至更陡处
\end{enum}

逐渐增大 $R_{\rm D}$ 至极大，对增益、输入电压范围等参数的影响如图 \ref{fig:增益、输出范围与负载电阻的关系} 所示\\
适当增大 $R_{\rm D}$ 可增大增益，但会减小输入小信号电压范围\\
过度增大 $R_{\rm D}$ 使放大器性能严重恶化

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    %\includegraphics[scale=1.1]{figures/负载电阻与增益.pdf}
    \includegraphics[scale=1.0]{figures/电阻负载型共源放大器的电阻变化与电压传输特性.pdf}
    \caption{增益、输出范围与负载电阻的关系}
    \label{fig:增益、输出范围与负载电阻的关系}
\end{figure}

$R_{\rm D} \to +\infty$ 时的增益极限称为本征增益，此时$R_{\rm D}$ 应当视为电流源
$$
A_{v,\rm max} = \lim_{R_{\rm D} \to +\infty} \big[-g_{\rm m} \cdot (R_{\rm D} \parallel r_{\rm o}) \big] 
\approx -g_{\rm m} r_{\rm o}
$$

%\begin{quote}
%    求输入电阻：输出短路\\
%    求输出电阻：输入开路
%\end{quote}

\subsubsection{接成二极管的MOS作负载的共源放大器}

\paragraph{接成二极管的MOS负载}
二极管连接型负载由NMOS或PMOS的G-D相连得到，其电路图与小信号等效电路如图 \ref{fig:二极管连接型负载及其小信号等效电路} 所示\\
不考虑体效应时其等效电阻为：
$$
r_{\rm eq} = \left(r_{\rm o} \parallel \frac{1}{g_{\rm m}}\right) \approx \frac{1}{g_{\rm m}} 
$$

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/二极管连接型负载.pdf}
    \caption{二极管连接型负载及其小信号等效电路}
    \label{fig:二极管连接型负载及其小信号等效电路}
\end{figure}

对于NMOS，在考虑体效应时其电路图与小信号等效电路如图 \ref{fig:考虑体效应的二极管连接型负载及其小信号等效电路} 所示\\
注意到在小信号等效电路中 $V_{\rm bs} = V_1 = -V_X$，$I_{\rm D} = -I_X$
$$
r_{\rm eq} = \frac{V_1}{I_{\rm D}} = \left( r_{\rm o} \parallel \frac{1}{g_{\rm m}} \parallel \frac{1}{g_{\rm mb}} \right)
\approx \frac{1}{g_{\rm m} + g_{\rm mb}} =  \frac{1}{(1+\eta)g_{\rm m}}
$$

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/二极管连接型负载体效应.pdf}
    \caption{考虑体效应的NMOS二极管连接型负载及其小信号等效电路}
    \label{fig:考虑体效应的二极管连接型负载及其小信号等效电路}
\end{figure}

\begin{quote}
    可见，接线成二极管的MOS负载的等效电阻即为MOS栅极、漏极固定，从源端看进去的等效电阻\\
    由于只有两端，可将其漏极（栅极）接在固定电位，在源端加测试源，则可得上述结论
    $$
    r_{\rm eq} = \left( r_{\rm o} \parallel \frac{1}{g_{\rm m}} \parallel \frac{1}{g_{\rm mb}} \right)
    = \frac{r_{\rm o}}{1 + (g_{\rm m} + g_{\rm mb})r_{\rm o}}
    $$
    若将源端固定，在漏极（栅极）加测试源，则由于漏极与栅极都有电平变化难以直接得出结论，必须借由小信号模型计算等效电阻
\end{quote}

\paragraph{直流电压传输特性}
二极管连接负载型共源放大器电路图及其直流响应如图 \ref{fig:二极管连接型负载共源放大器} 所示\\
不考虑亚阈值电流，$V_{\rm out}$ 的最大值相比 $V_{\rm DD}$ 损失了 $V_{\rm TH2}$

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/二极管连接型负载共源放大器.pdf}
    \caption{二极管连接负载型共源放大器}
    \label{fig:二极管连接型负载共源放大器}
\end{figure}

暂时忽略NMOS二极管连接型负载的体效应，NMOS二极管连接负载型共源放大器
\begin{align*}
    \frac{1}{2} \mu_nC_{\rm ox} \frac{W_1}{L_1} (V_{\rm in} - V_{\rm TH1})^2 &=
    \frac{1}{2} \mu_nC_{\rm ox} \frac{W_2}{L_2} (V_{\rm in} -V_{\rm out} - V_{\rm TH2})^2 \\
    \sqrt{\frac{W_1}{L_1}} (V_{\rm in} - V_{\rm TH1}) &=
    \sqrt{\frac{W_2}{L_2}} (V_{\rm DD} - V_{\rm out} - V_{\rm TH2})
\end{align*}
可见 $V_{\rm in}$ 与 $V_{\rm out}$ 在理想状况下成线性关系（忽略体效应）


\paragraph{小信号增益分析}
直流特性求导求小信号增益
\begin{align*}
& \sqrt{\frac{W_1}{L_1}}
= \sqrt{\frac{W_2}{L_2}} \left(- \frac{\partial V_{\rm out}}{\partial V_{\rm in}} 
  - \frac{\partial V_{\rm TH2}}{\partial V_{\rm in}}\right)
= -\sqrt{\frac{W_2}{L_2}} (1 + \eta) \frac{\partial V_{\rm out}}{\partial V_{\rm in}}
%\Longrightarrow \qquad &
\qquad\Longrightarrow\qquad 
A_v = \frac{\partial V_{\rm out}}{\partial V_{\rm in}} = - \sqrt{\frac{W_1/L_1}{W_2/L_2}} \frac{1}{1+\eta}
\end{align*}
其中
\begin{align*}
&\frac{\partial V_{\rm TH2}}{\partial V_{\rm in}} 
=\frac{\partial V_{\rm TH2}}{\partial V_{\rm out}} \frac{\partial V_{\rm out}}{\partial V_{\rm in}}
=\eta \frac{\partial V_{\rm out}}{\partial V_{\rm in}}, &
g_{\rm mb} = \eta g_{\rm m}
\end{align*}

还可直接利用电阻负载型共源放大器的增益公式
\begin{align*}
&A_v = -g_{\rm m1} r_{\rm eq} = - \frac{g_{\rm m1}}{g_{\rm m2}} \frac{1}{1+\eta} 
    = - \sqrt{\frac{W_1/L_1}{W_2/L_2}} \frac{1}{1+\eta} &
                                                        &\text{\color{blue}NMOS} \\
&A_v = -g_{\rm m1} r_{\rm eq} = -\frac{g_{\rm m1}}{g_{\rm m2}} 
    = -\sqrt{\frac{\mu_n W_1/L_1}{\mu_p W_2/L_2}} &
&\text{\color{blue}PMOS}
\end{align*}

若忽略 $\eta$ 随输出电压的变化，则 $A_v$ 与工作点无关，可以实现线性放大\\
相比NMOS，改用PMOS则无体效应，线性度更好，但出现 $\mu_n/\mu_p$ 项，温度稳定性下降

\paragraph{输入输出电阻}
利用小信号模型易得输出电阻为：
$$
\begin{aligned}
&r_{\rm out} = (r_{\rm o1} \parallel r_{\rm eq}) \approx r_{\rm eq} \approx \frac{1}{g_{\rm m2}(1+\eta)}
&\qquad\text{\color{blue} NMOS}\\
&r_{\rm out} = (r_{\rm o1} \parallel r_{\rm eq}) \approx r_{\rm eq} \approx \frac{1}{g_{\rm m2}}        
&\qquad\text{\color{blue} PMOS}
\end{aligned}
$$

\paragraph{电压摆幅}

对于PMOS连线二极管，有：
$$
\frac{1}{2}\mu_nC_{\rm ox} \frac{W_1}{L_1} (V_{\rm GS1} - V_{\rm TH1})^2 =
\frac{1}{2}\mu_pC_{\rm ox} \frac{W_2}{L_2} (V_{\rm GS2} - V_{\rm TH2})^2
\qquad\Longrightarrow\qquad 
\frac{|V_{\rm GS2} - V_{\rm TH2}|}{(V_{\rm GS1} - V_{\rm TH1})}
= \sqrt{\frac{\mu_n(W_1/L_1)}{\mu_p(W_2/L_2)}} = |A_v|
$$
若要增益大，则 $W_2/L_2$ 小，$V_{\rm SG2}$ 大，使直流工作点 $V_{\rm out}$ 偏小，NMOS管工作在线性区边缘，电压摆幅小

可以在负载管两端并联一电流源，分担负载管大部分电流，如图 \ref{fig:电流源与二极管连接并联负载型共源放大器} 中 $I_{\rm S} = 0.75I_1$\\
其小信号模型与二极管连接负载型共源放大器一致，增益为：
$$
A_v = -\frac{g_{\rm m1}}{g_{\rm m2}} 
= - \frac{\sqrt{\mu_nC_{\rm ox} (W_1/L_1) I_{\rm D1}}}{\sqrt{\mu_pC_{\rm ox} (W_2/L_2) I_{\rm D2}}}
= -\sqrt{\frac{4\mu_n W_1/L_1}{\mu_p W_2/L_2}}
$$
过驱动电压：
$$
\frac{1}{2}\mu_nC_{\rm ox} \frac{W_1}{L_1} (V_{\rm GS1} - V_{\rm TH1})^2 =
4\cdot\frac{1}{2}\mu_pC_{\rm ox} \frac{W_2}{L_2} (V_{\rm GS2} - V_{\rm TH2})^2
\qquad\Longrightarrow\qquad 
\frac{|V_{\rm GS2}-V_{\rm TH2}|}{(V_{\rm GS1} - V_{\rm TH1})} = \frac{|A_v|}{4}
$$
可见：相同增益时M2负载管上的压降大大减小，允许的电压摆幅增大\\
或者：相同压降时增益增大为原来的4倍，因为相同工况下负载管电流、尺寸、跨导均减小为原来的 $1/4$

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/电流源与二极管连接负载型共源放大器.pdf}
    \caption{电流源与二极管连接并联负载型共源放大器}
    \label{fig:电流源与二极管连接并联负载型共源放大器}
\end{figure}

\subsubsection{电流源作负载的共源放大器}

输入驱动管跨导为 $g_{\rm m}$ ，输出电阻为 $r_{\rm out}$ 的负载型共源放大器的增益为：
$$
A_v = -g_{\rm m} \cdot r_{\rm out}
$$
可见要提高增益，必须增大输出电阻 $r_{\rm out} = r_{\rm o1} \parallel R_{\rm D}$，通常需增大 $R_{\rm D}$\\
工作点的直流电流会使 $R_{\rm D}$上压降较大，使电压摆幅小\\
需要一个在一定电流下大电阻、小压降的元件作为负载，应当使用非欧姆元件\\
理论上可用电流源作为负载，实质上用一PMOS作为可控电流源（非理想），如图 \ref{fig:电流源负载型共源放大器} 所示

\begin{quote}
    这里不能使用NMOS作为电路源，因为其源极悬空
\end{quote}

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/电流源负载型共源放大器.pdf}
    \caption{电流源负载型共源放大器}
    \label{fig:电流源负载型共源放大器}
\end{figure}

考虑沟道长度调制，从小信号模型中可见输出电阻为 $r_{\rm o1} \parallel r_{\rm o2}$，因此增益为：
$$
\begin{aligned}
    A_v &= -g_{\rm m1} \cdot ( r_{\rm o1} \parallel r_{\rm o2} )
\end{aligned}
$$

对本征增益 $A_{\rm intr} = -g_{\rm m1} r_{\rm o1}$ 的分析
\begin{enum}
\item 由 $\lambda \propto 1/L$ 可知 $A_{\rm intr} \propto \sqrt L$
\item $A_{\rm intr}$ 随 $I_{\rm D}$ 增大而减小，因为$I_{\rm D}$ 大（ $V_{\rm GS}$ 大）使得$r_{\rm o}$严重减小
        （$I_{\rm D}-V_{\rm DS}$ 曲线斜率增大）
\end{enum}
$$
A_{\rm intr} = -g_{\rm m1} r_{\rm o1} = -\sqrt{2 \mu_nC_{\rm ox}\frac{W_1}{L_1} I_{\rm D} } \cdot \frac{1}{\lambda I_{\rm D}}
$$


\subsubsection{Class-AB Stage}

\paragraph{小信号增益分析}

将以电流源作负载的共源放大器中的PMOS也作为放大器件使用，如图 \ref{fig:Class-AB互补共源级放大器} 所示

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/Class-AB单级放大器.pdf}
    \caption{Class-AB互补共源级放大器}
    \label{fig:Class-AB互补共源级放大器}
\end{figure}

从小信号模型中易得其增益为：
$$
A_v = -(g_{\rm m1} + g_{\rm m2}) \cdot (r_{\rm o1} \parallel r_{\rm o2})
$$
可见此结构的等效跨导更大，因此增益更大

\paragraph{劣势}
Class-AB 互补共源放大器主要有如下两点劣势：
\begin{enum}
    \item 有效的工作点区域小，且随PVT变化较大
    \item 会将 $V_{\rm DD}$ 的变化放大到 $V_{\rm out}$
\end{enum}

如图 \ref{fig:Class-AB互补共源级放大器对VDD的小信号增益} 所示为Class-AB互补共源级放大器对$V_{\rm DD}$的小信号模型，
可得对$V_{\rm DD}$ 的小信号增益为：
$$
\frac{V_{\rm out}}{r_{\rm o1}} = \frac{V_{\rm DD} - V_{\rm out}}{r_{\rm o2}} + g_{\rm m2} V_{\rm DD}
\qquad\Longrightarrow\qquad 
A_{\rm vdd} = \frac{V_{\rm out}}{V_{\rm DD}} = \frac{g_{\rm m2}r_{\rm o1}r_{\rm o2}+ r_{\rm o1}}{r_{\rm o1} + r_{\rm o2}}
= \left(g_{\rm m2} + \frac{1}{r_{\rm o2}}\right) \cdot (r_{\rm o1} \parallel r_{\rm o2})
$$

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/Class-AB的VDD增益.pdf}
    \caption{Class-AB互补共源级放大器对VDD的小信号模型}
    \label{fig:Class-AB互补共源级放大器对VDD的小信号增益}
\end{figure}

\begin{quote}
    可以通过偏置技术、浮栅等手段缓解 Class-AB 互补共源放大器受$V_{\rm DD}$影响的问题
\end{quote}

\begin{quote}
对于以电流源作负载的共源放大器，电流源负载的偏置可以VDD为基点，$I_{\rm D}$ 不受电源波动的影响
\end{quote}

%
%若VDD波动，则Vout波动剧烈，抗电源波动能力弱\\
%可利用利用浮栅结构提高抗电源波动能力

\subsubsection{共源放大器的分析方法总结}

\paragraph{大信号定性分析}
从电压传输特性曲线的斜率上可以得到小信号增益\\
电压传输特性曲线的形状可定性地从驱动与负载的上下拉能力上看出

当传输一定的电流时，两端压降越小则认为元件上拉/下拉能力越强\\
对于电阻等线性元件来说上下拉能力与工况无关，对于非线性元件其上下拉能力随工况变化

对于共源放大器，有如下特征：
\begin{enum}
    \item 只有一条电流通路，上拉与下拉元件的电流相同
    \item 上拉与下拉元件的电压降之和为 $V_{\rm DD}$，两者连接点即为 $V_{\rm out}$
\end{enum}

利用上下拉能力定性分析共源放大器的小信号增益：\\
当 $V_{\rm in}$ 增大时NMOS下拉增强，负载元件的上拉能力相对减小、压降增加，使得 $V_{\rm out}$ 下降
\begin{enum}
\item 电阻负载 $V/I = \mathrm{const}$ 上拉能力不变
\item 二极管负载 $V/I= V/(V-V_{\rm TH})^2$ 上拉能力增强，削弱了下拉增强影响，增益小
\item 电流源负载 $V/I=(1+\lambda V)/V$ 上拉能力减弱，增强了下拉增强的影响，增益大
\item Class-AB 上拉能力随 $V_{\rm in}$ 增大快速减弱，增强了下拉增强的影响，增益很大
\end{enum}

\paragraph{小信号定性分析}
输入小信号在放大器中的信号流：$V_{\rm in}$经由 $g_{\rm m}$ 变为电流信号，再经由对交流地的电阻变为 $V_{\rm out}$\\
这两部分之间只通过电流信号耦合，两部分的作用简单相乘\\
若有多个跨导元件并联，则其电流相加等效于跨导相加\\
其中输出结点对交流地之间的电阻既包括负载元件电阻，也包括驱动管的寄生电阻
$$
V_{\rm out} = -g_{\rm m} V_{\rm in} \cdot r_{\rm gnd}
\qquad\Longrightarrow\qquad 
A_v = -g_{\rm m} r_{\rm out}
$$

\paragraph{线性小信号电路的增益}
小信号模型作为线性电路可做戴维宁等效\\
若开路电压为 $V_{\rm oc}$，短路电流为 $I_{\rm sc}$，输出电阻为 $R_{\rm out}$，则$V_{\rm oc} = R_{\rm out} \cdot I_{\rm sc}$\\
若小信号模型令 $V_{\rm out}=0$ 接地时输出端对地电流为 $I_{\rm out}$，定义等效跨导为 $G_{\rm m} = I_{\rm out} / V_{\rm in}$\\
又由于一般的共源放大器输出端电压 $V_{\rm out}$ 为开路电压 $V_{\rm oc}$，则：
$$
V_{\rm out} = R_{\rm out} \cdot G_{\rm m} V_{\rm in} 
\qquad\Longrightarrow\qquad 
A_v = \frac{V_{\rm out}}{V_{\rm in}} = G_{\rm m} \cdot R_{\rm out}
$$

\begin{quote}
    注意图 \ref{fig:利用戴维宁等效求线性电路的增益} 中给定 $I_{\rm out}$ 的方向与 $I_{\rm sc}$ 的方向相反，
    这时上式应再增加一个负号
\end{quote}

%\begin{quote}
%    一般来说小信号等效模型中 $I_{\rm out} < 0$，使得 $G_{\rm m}<0$\\
%    取绝对值后 $A_v$ 中出现常见的负号
%\end{quote}

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/线性电路的增益.pdf}
    \caption{利用戴维宁等效求线性电路的增益}
    \label{fig:利用戴维宁等效求线性电路的增益}
\end{figure}

求小信号模型输出电阻 $R_{\rm out}$ 的方式为：\\
将电路中的独立源置零 $V_{\rm in} = 0$，在输出端加电压 $V_{\rm X}$，若输出端电流为 $I_X$，则 $R_{\rm out} = V_X/I_X$


\subsubsection{有源极负反馈的共源放大器}
由于 $g_{\rm m}$ 不是恒定值，共源放大器的增益与输入有关，具有一定的非线性\\
可以引入源极负反馈电阻来使得增益线性度更好

如图 \ref{fig:有源极负反馈的共源放大器} 为有源极负反馈电阻的共源放大器电路，以及其驱动部分的小信号等效电路\\
随着 $V_{\rm in}$ 增加，$I_{\rm D}$ 增加，降落在 $R_{\rm S}$ 上的 $V_{\rm in}$ 增加，使得 $I_{\rm D}$ 变化量减小

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/源极负反馈的共源放大器.pdf}
    \caption{有源极负反馈的共源放大器}
    \label{fig:有源极负反馈的共源放大器}
\end{figure}

引入源极负反馈之后，放大器的增益仍然由跨导、负载电阻两部分决定，下面分别讨论

\paragraph{驱动电路的等效跨导}

定义电路的等效跨导 $G_{\rm m} = \partial I_{\rm D} / \partial V_{\rm in}$，
利用图 \ref{fig:有源极负反馈的共源放大器} 中驱动部分的小信号等效电路即可得到其等效跨导
\begin{equation}
\begin{aligned}
&I_{\rm out} = g_{\rm m} (V_{\rm in} - V_X) + g_{\rm mb} V_{\rm bs} - V_X/r_{\rm o}  \\
&I_{\rm out} = V_X / R_{\rm S}\\
&V_{\rm bs}  = -V_{X}
\end{aligned}
\qquad\Longrightarrow\qquad 
G_{\rm m} = \frac{I_{\rm out}}{V_{\rm in}} 
= \frac{r_{\rm o}}{\big[(g_{\rm m}+g_{\rm mb})r_{\rm o}+1\big]R_{\rm S} + r_{\rm o}} \cdot g_{\rm m}
\label{eq:源极负反馈等效跨导精确}
\end{equation}

\begin{quote}
    上式看上去像是将 $R_{\rm S}$ 从源端等效到漏端，再与 $r_{\rm o}$ 分流
\end{quote}

%\begin{quote}
%    小信号模型须要在 $V_{\rm out}$ 接地的情况下求 $G_{\rm m}$\\
%    从大信号的角度：与MOS管跨导的定义式相照应（$V_{\rm DS} = \mathrm{const}$）\\
%    从小信号的角度：求小信号电路中$V_{\rm in}$对短路电流的跨导，从而可利用戴维宁等效求小信号增益 $A_v$
%\end{quote}

逐步忽略沟道长度调制效应、体效应，等效跨导近似为：
\begin{equation}
G_{\rm m} 
\approx \frac{g_{\rm m}}{1 + (g_{\rm m} + g_{\rm mb}) R_{\rm S}}
\approx \frac{g_{\rm m}}{1 + g_{\rm m} R_{\rm S}}
\label{eq:源极负反馈等效跨导近似}
\end{equation}
从反馈系统的角度容易直接得到上述表达式\\
忽略 $r_{\rm o}$ 后NMOS是两输入、单输出的跨导元件\\
栅极为正输入端，到输出端的跨导为 $g_{\rm m}$\\
源极为负输入端，到输出端的跨导为 $g_{\rm m} + g_{\rm mb}$\\
$R_{\rm S}$ 为反馈回路\\
前向增益 $g_{\rm m}$，环路增益 $(g_{\rm m} + g_{\rm mb})R_{\rm S}$，由此可得到上述表达式 \eqref{eq:源极负反馈等效跨导近似}

%\begin{tikzpicture}
%    \renewcommand{\myvarx}{4.0}
%    \renewcommand{\myvary}{0.8}
%    \draw (0.0*\myvarx,  2.0*\myvary) rectangle (1.0*\myvarx, -2.0*\myvary);
%    \draw (0.2*\myvarx,  0.5*\myvary) rectangle (0.8*\myvarx,  1.5*\myvary);
%    \draw (0.2*\myvarx, -0.5*\myvary) rectangle (0.8*\myvarx, -1.5*\myvary);
%    \draw (0.5*\myvarx,  1.0*\myvary) node {$g_{\rm m}$};
%    \draw (0.5*\myvarx, -1.0*\myvary) node {$g_{\rm m} + g_{\rm mb}$};
%\end{tikzpicture}

利用式 \eqref{eq:源极负反馈等效跨导近似} 也可推导考虑 $r_{\rm o}$ 的精确表达式 \eqref{eq:源极负反馈等效跨导精确}， 
如图 \ref{fig:源极负反馈的共源放大器等效跨导推导} 所示
$$
\begin{aligned}
G_{\rm m} = \frac{I_{\rm out}}{V_{\rm in}} = \frac{I_1}{V_{\rm in}} 
&= \frac{r_{\rm o}}{R_{\rm S} + r_{\rm o}} \cdot \frac{I_{\rm o}'}{V_{\rm in}} \\
&= \frac{r_{\rm o}}{R_{\rm S} + r_{\rm o}} \cdot \frac{g_{\rm m}}{1 + (g_{\rm m}+g_{\rm mb}) (R_{\rm S} \parallel r_{\rm o})}\\
&= \frac{r_{\rm o}}{\big[(g_{\rm m}+g_{\rm mb})r_{\rm o}+1\big]R_{\rm S} + r_{\rm o}} \cdot g_{\rm m}
\end{aligned}
$$

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.10]{figures/源极负反馈的共源放大器等效跨导推导.pdf}
    \caption{源极负反馈的共源放大器等效跨导推导}
    \label{fig:源极负反馈的共源放大器等效跨导推导}
\end{figure}


引入源极负反馈前后的电流与等效跨导的变化如图 \ref{fig:源极负反馈对电流与跨导的影响} 所示 \\
在 $V_{\rm in}$ 较小时 $g_{\rm m}$ 较小，$1/g_{\rm m} \gg R_{\rm S}$ 可得 $G_{\rm m} \approx g_{\rm m}$\\
在 $V_{\rm in}$ 较大时 $g_{\rm m}$ 较大，$1/g_{\rm m} \ll R_{\rm S}$ 可得 $G_{\rm m} \to 1/R_{\rm S}$\\
也就是说，$V_{\rm in}$ 较大且NMOS仍处于饱和区时，$G_{\rm m}$ 趋向常数，增益线性度好（以增益减小为代价）

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/有源极负反馈对电流与跨导的影响.pdf}
    \caption{源极负反馈对电流与跨导的影响}
    \label{fig:源极负反馈对电流与跨导的影响}
\end{figure}

\paragraph{源极负反馈结构的输出电阻}

计算源极负反馈结构的小信号输出电阻，小信号模型如图 \ref{fig:源极负反馈计算驱动电路等效电阻的小信号模型} 所示
$$
\left\{
\begin{aligned}
    &I_X = g_{\rm m}V_1 + g_{\rm mb} V_1 + (V_X+V_1)/r_{\rm o} \\
    &I_X = (-V_1) / R_{\rm S} \\
\end{aligned}
\right.
$$
可以解得：
$$
\begin{aligned}
    r_{\rm OD} = \frac{V_X}{I_X} 
    &= r_{\rm o} + \big[(g_{\rm m} + g_{\rm mb}) r_{\rm o} + 1\big] R_{\rm S} \\
    &\approx (g_{\rm m} + g_{\rm mb}) r_{\rm o} R_{\rm S}
\end{aligned}
$$
可以发现：
$$
G_{\rm m} 
= \frac{g_{\rm m}r_{\rm o}}{\big[(g_{\rm m}+g_{\rm mb})r_{\rm o}+1\big]R_{\rm S} + r_{\rm o}}
= \frac{g_{\rm m}r_{\rm o}}{r_{\rm OD}}
$$

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/源极负反馈驱动电路的等效电阻小信号模型.pdf}
    \caption{计算驱动电路等效电阻的小信号模型}
    \label{fig:源极负反馈计算驱动电路等效电阻的小信号模型}
\end{figure}

\paragraph{本征增益}
若以电流源为负载，电路增益为本征增益
$$
A_v = -G_{\rm m} r_{\rm OD} = -\frac{g_{\rm m}r_{\rm o}}{r_{\rm OD}} \cdot r_{\rm OD} = -g_{\rm m} r_{\rm o}
$$
可见，源极负反馈对电路的本征增益无影响\\
这是因为理想电流源作用下 $R_{\rm S}$ 上压降恒定，NMOS源极电压恒定，在小信号模型中无法体现出 $R_{\rm S}$

\paragraph{小信号增益}
根据戴维宁等效可知小信号增益为：
$$
A_v = -G_{\rm m} \cdot R_{\rm out} = -G_{\rm m} \cdot (r_{\rm OD} \parallel R_{\rm D})
$$

电路的完整小信号模型如图 \ref{fig:有源极负反馈的共源放大器的完整小信号模型} 所示，直接计算小信号增益的结果与上式相同

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/源极负反馈共源放大器的完整小信号模型.pdf}
    \caption{有源极负反馈的共源放大器的完整小信号模型}
    \label{fig:有源极负反馈的共源放大器的完整小信号模型}
\end{figure}


\subsection{源跟随器}
共源放大器要提高增益，就需要大的$r_{\rm out}$，驱动能力低\\
可增加一电压跟随器增强驱动能力，这可用共漏极放大器实现，也称为源跟随器

\begin{quote}
    %从交流小信号角度，源跟随器是 Voltage Buffer\\
    从直流大信号角度，源跟随器是 Level Shifter
\end{quote}

简单的源跟随器结构及其理想的电压传输特性如图 \ref{fig:源跟随器及其理想电压传输特性} 所示

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/源跟随器.pdf}
    \caption{源跟随器及其理想电压传输特性}
    \label{fig:源跟随器及其理想电压传输特性}
\end{figure}

\subsubsection{小信号增益}
从小信号的角度，利用如图 \ref{fig:源跟随器的小信号模型与增益曲线} 所示小信号模型可得源跟随器的增益
$$
V_{\rm out} = R_{\rm S} \big[ g_{\rm m}(V_{\rm in} - V_{\rm out}) + g_{\rm mb}(-V_{\rm out}) \big]
\qquad\Longrightarrow\qquad 
A_v = \frac{V_{\rm out}}{V_{\rm in}} = \frac{g_{\rm m}R_{\rm S}}{1+(g_{\rm m} + g_{\rm mb})R_{\rm S} }
$$
$A_v$ 与 $V_{\rm in}$ 的直流关系如图 \ref{fig:源跟随器的小信号模型与增益曲线} 右侧所示，
在 $V_{\rm in}$ 较大时由于 $g_{\rm m}$ 增大，使 $A_v \to g_{\rm m} / (g_{\rm m} + g_{\rm mb}) = 1/(1+\eta)$\\
可见：在考虑体效应时始终有$A_v<1$ 

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/源跟随器的小信号模型与增益曲线.pdf}
    \caption{源跟随器的小信号模型与增益曲线}
    \label{fig:源跟随器的小信号模型与增益曲线}
\end{figure}

由于 $V_{\rm in} - V_{\rm out} = V_{\rm GS}$，只有 $V_{\rm GS}$ 恒定不变时才能成为理想的源跟随器\\
实际上在 $V_{\rm in}$ 变动引起 $I_{\rm D}$ 变动，这使得 $V_{\rm GS}$ 变动，无法实现理想的跟随\\
可以用电流源代替电阻，实现较为理想的跟随

对图 \ref{fig:源跟随器的小信号模型与增益曲线} 所示小信号模型还可做进一步简化分析
\begin{enum}
    \item 体效应受控源两端电压为 $V_{\rm out}$，电流为 $g_{\rm mb} V_{\rm out}$，因此可等效为大小为 $1/g_{\rm mb}$ 的电阻，如图
          \ref{fig:源跟随器体效应等效为电阻} 所示
    \item 栅跨导受控源及激励 $V_{\rm in}$ 可共同戴维宁等效为电动势 $V_{\rm in}$，内阻 $1/g_{\rm m}$ 的非理想电压源，如图
          \ref{fig:源跟随器小信号模型本征部分的戴维宁等效} 所示
    \item 考虑 $R_{\rm S}$ 与 $1/g_{\rm mb}$ 并联，则易知其小信号增益为：
          $$
      A_v = \frac{\dfrac{1}{g_{\rm mb}} \parallel R_{\rm S}}{\dfrac{1}{g_{\rm m}} + \dfrac{1}{g_{\rm mb}} \parallel R_{\rm S}}
          = \frac{g_{\rm m}R_{\rm S}}{1+(g_{\rm m} + g_{\rm mb}) R_{\rm S}}
          $$
\end{enum}

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/源跟随器体效应等效为电阻.pdf}
    \caption{源跟随器体效应等效为电阻}
    \label{fig:源跟随器体效应等效为电阻}
\end{figure}

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/源跟随器小信号模型的戴维宁等效.pdf}
    \caption{源跟随器小信号模型本征部分的戴维宁等效}
    \label{fig:源跟随器小信号模型本征部分的戴维宁等效}
\end{figure}

\begin{quote}
    图 \ref{fig:源跟随器小信号模型本征部分的戴维宁等效} 中右侧电路也解释了为何考虑体效应时 $A_v<1$
\end{quote}

对于如图 \ref{fig:驱动负载的源跟随器} 所示更一般的情况，只需计算除本征部分之外的等效电阻 $R_{\rm eq}$ 再套用上式即可得小信号增益
$$
\begin{aligned}
&R_{\rm eq} = \frac{1}{g_{\rm mb}} \parallel r_{\rm o1} \parallel r_{\rm o2} \parallel R_{\rm L}\\
&A_v = \frac{R_{\rm eq}}{R_{\rm eq} + 1/g_{\rm m}}
\end{aligned}
$$

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/源跟随其驱动负载.pdf}
    \caption{驱动负载的源跟随器}
    \label{fig:驱动负载的源跟随器}
\end{figure}

%$$
%V_{\rm out} = V_{\rm in} - V_{\rm GS} = v_{\rm in} - \left(\frac{2I_{\rm B}}{\mu_nC_{\rm ox}W_1/L_1} + V_{\rm TH1}\right)
%$$

\subsubsection{输出电阻}
利用小信号模型计算NMOS的源极输出电阻
$$
g_{\rm m} (-V_X) + g_{\rm mb} (-V_X) + I_X = \frac{V_X}{r_{\rm o}} 
\qquad\Longrightarrow\qquad 
r_{\rm out} = \frac{1}{g_{\rm m}} \parallel \frac{1}{g_{\rm mb}} \parallel r_{\rm o} \approx \frac{1}{g_{\rm m} + g_{\rm mb}}
$$
因此MOS管从源极看的等效电阻如下（也适用于PMOS）
$$
r_{\rm out} = \frac{1}{g_{\rm m}} \parallel \frac{1}{g_{\rm mb}} \parallel r_{\rm o}
$$
对于源跟随器电路，只需将上式再与负载电阻 $R_{\rm L}$ 并联

%源随器的作用：
%\begin{enum}
%    \item Level Shifter：直流角度
%    \item Voltage Buffer：交流角度
%\end{enum}

\subsubsection{其它问题}
源跟随器的优点：输入电阻大，输出电阻较小\\
源跟随器的缺点：电压余度减小、非线性（体效应、深亚微米 $r_{\rm o}$ 变化）

使用PMOS制造源跟随器可使源体电压为 $0$ 从而消除体效应（N阱与PMOS源极短接）\\
但PMOS迁移率低使得源跟随器输出电阻较高

\subsection{共栅放大器}
共栅放大器的输入电阻小：适用于电流型放大器

两种共栅放大器的结构如图 \ref{fig:共栅放大器的两种结构} 所示
\begin{enum}
    \item 直接耦合型：$V_{\rm in}$ 决定偏置并输入小信号
    \item 电容耦合型：$I_1$ 决定偏置，$V_{\rm in}$ 输入小信号 
\end{enum}

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/共栅放大器}
    \caption{共栅放大器的两种结构}
    \label{fig:共栅放大器的两种结构}
\end{figure}

定性分析共栅放大器的静态电压传输特性如图 \ref{fig:共栅放大器电压传输特性曲线} 所示，可见其小信号增益为正数

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/共栅放大器增益曲线.pdf}
    \caption{共栅放大器电压传输特性曲线}
    \label{fig:共栅放大器电压传输特性曲线}
\end{figure}

\subsubsection{输入电阻}

使用如图 \ref{fig:共栅放大器输入电阻} 所示小信号模型计算共栅放大器的输入电阻
$$
\frac{V_X - I_XR_{\rm D}}{r_{\rm o}} - g_{\rm m}(-V_X) - g_{\rm mb}(-V_X) = I_X
\qquad\Longrightarrow\qquad 
r_{\rm in} = \frac{R_{\rm D}+r_{\rm o}}{1+(g_{\rm m} + g_{\rm mb})r_{\rm o}}
$$
考虑到 $(g_{\rm m} + g_{\rm mb})r_{\rm o} \gg 1$ 得下式，说明源端看进去漏端电阻缩小为原来的 $1/(g_{\rm m}+g_{\rm mb})r_{\rm o}$ 倍
$$
r_{\rm in} = \frac{R_{\rm D}+r_{\rm o}}{1+(g_{\rm m} + g_{\rm mb})r_{\rm o}}
\approx \frac{R_{\rm D} + r_{\rm o}}{(g_{\rm m} + g_{\rm mb})r_{\rm o}}
$$
若 $R_{\rm D}$ 很小，则与源跟随器的输出电阻情况相同
$$
r_{\rm in} =  \frac{R_{\rm D}+r_{\rm o}}{1+(g_{\rm m} + g_{\rm mb})r_{\rm o}}
\approx \frac{1}{g_{\rm m} + g_{\rm mb} + 1/r_{\rm o}} 
= \frac{1}{g_{\rm m}} \parallel \frac{1}{g_{\rm mb}} \parallel r_{\rm o}
$$
若 $R_{\rm D} = +\infty$ 成为电流源，则源端电压变化无法引起电流变化，输入电阻无穷大
$$
r_{\rm in} =  \frac{R_{\rm D}+r_{\rm o}}{1+(g_{\rm m} + g_{\rm mb})r_{\rm o}} = \infty
$$

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/共栅放大器输入电阻.pdf}
    \caption{计算共栅放大器输入电阻的小信号模型}
    \label{fig:共栅放大器输入电阻}
\end{figure}

\subsubsection{输出电阻}

求输出电阻时源端激励置零，与有源端负反馈的共源放大器的输出电阻情况相同
$$
r_{\rm out} = r_{\rm OD} \parallel R_{\rm D}
= \big[r_{\rm o} + R_{\rm S} + (g_{\rm m} + g_{\rm mb})r_{\rm o}R_{\rm S}\big] \,\Big|\!\Big|\, R_{\rm D}
$$

\subsubsection{等效跨导}

将 $V_{\rm out}$ 端短接到小信号地，考虑输入电压源内阻 $R_{\rm S}$，求解 $G_{\rm m} = I_{\rm out}/V_{\rm in}$\\
由于电压源上的电流即为 $I_{\rm out}$，跨导即为电压源看到的电阻取倒数
$$
G_{\rm m} = \left[R_{\rm S} + \frac{r_{\rm o}}{1+(g_{\rm m} + g_{\rm mb})r_{\rm o}}\right]^{-1}
$$

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/共栅放大器等效跨导.pdf}
    \caption{计算共栅放大器等效跨导的小信号模型}
    \label{fig:计算共栅放大器等效跨导的小信号模型}
\end{figure}

\subsubsection{小信号增益}

在如图 \ref{fig:共栅放大器小信号模型} 所示小信号模型中，若不考虑电压源内阻 $R_{\rm S}$ 可得：
$$
g_{\rm m} (-V_{\rm in}) + \frac{V_{\rm out} - V_{\rm in}}{r_{\rm o}} + g_{\rm mb}(-V_{\rm in}) + \frac{V_{\rm out}}{R_{\rm D}} = 0
\qquad\Longrightarrow\qquad 
A_v = \frac{V_{\rm out}}{V_{\rm in}} = \frac{g_{\rm m} + g_{\rm mb} + 1/r_{\rm o}}{1/r_{\rm o} + 1/R_{\rm D}}
\approx (g_{\rm m} + g_{\rm mb}) R_{\rm D}
$$
若考虑电压源内阻 $R_{\rm S}$，注意到$R_{\rm S}$ 与 $R_{\rm D}$ 流过的电流均为 $V_{\rm out} / R_{\rm D}$
$$
\begin{aligned}
    &-V_1 = V_{\rm in} - \frac{V_{\rm out}}{R_{\rm D}} R_{\rm S} \\
    &\frac{-V_1-V_{\rm out}}{r_{\rm o}} - g_{\rm m}V_1 - g_{\rm mb} V_1 = \frac{V_{\rm out}}{R_{\rm D}}
\end{aligned}
\qquad\Longrightarrow\qquad 
A_v = \frac{g_{\rm m} + g_{\rm mb} + 1/r_{\rm o}}{(g_{\rm m}+g_{\rm mb})R_{\rm S}/R_{\rm D} 
+ (1+R_{\rm S}/R_{\rm D})/r_{\rm o} + 1/R_{\rm D}}
$$
可见：信号源内阻影响小信号增益（因为共栅放大器的输入电阻较小，不为无穷）

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/共栅放大器小信号模型.pdf}
    \caption{共栅放大器小信号模型}
    \label{fig:共栅放大器小信号模型}
\end{figure}

也可直接利用 $A_v = G_{\rm m} r_{\rm out}$ 得到下式，经化简两种结果是相同的
$$
A_v = G_{\rm m}r_{\rm out} 
= \left[R_{\rm S} + \frac{r_{\rm o}}{1+(g_{\rm m} + g_{\rm mb})r_{\rm o}}\right]^{-1} \cdot
\bigg[\big[r_{\rm o} + R_{\rm S} + (g_{\rm m} + g_{\rm mb})r_{\rm o}R_{\rm S}\big] \,\Big|\!\Big|\, R_{\rm D}\bigg]
$$


\subsection{共源共栅放大器}

共源共栅放大器的基本结构以及电压传输特性如图 \ref{fig:共源共栅放大器} 所示
\begin{enum}
\item $V_{\rm in} < V_{\rm TH1}$ 时两晶体管截止
\item $V_{\rm in}$ 足够大时两者谁先进入线性区取决于器件尺寸、$R_{\rm D}$、$V_{\rm b}$
\end{enum}

小信号必须在 $\rm M_1$ 输入，此时 $\rm M_2$ 与 $R_{\rm D}$ 构成共栅放大器，在 $V_{\rm out}$ 处得到增益\\
若在 $\rm M_2$ 输入小信号，由于 $\rm M_1$ 近似为电流源，$R_{\rm out}$ 上压降几乎不变，$V_{\rm out}$ 无增益

输出信号范围 $V_{\rm out} > 2 V_{\rm OD}$ \\
因此共源共栅结构使输出信号摆幅减小

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/共源共栅放大器.pdf}
    \caption{共源共栅放大器}
    \label{fig:共源共栅放大器}
\end{figure}

\subsubsection{输出电阻}

利用有源极负反馈的共源放大器相关结论，可得共源共栅结构的输出电阻为：
$$
\begin{aligned}
    R_{\rm out} &= \big[1+(g_{\rm m2} + g_{\rm mb2})r_{\rm o2}\big] r_{\rm o1} + r_{\rm o2} \\
                &= r_{\rm o1} + r_{\rm o2} + (g_{\rm m2} + g_{\rm mb2}) r_{\rm o1} r_{\rm o2}\\
                &\approx g_{\rm m2} r_{\rm o2} r_{\rm o1}
\end{aligned}
$$

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/共源共栅结构的输出电阻}
    \caption{共源共栅结构的输出电阻}
    \label{fig:共源共栅结构的输出电阻}
\end{figure}

\subsubsection{小信号增益}

不考虑二级效应时，共源共栅放大器的小信号模型如图 \ref{fig:不考虑二级效应的共源共栅放大器小信号模型} 所示\\
这时输入晶体管是理想受控源，$\rm M_2$ 晶体管无效，电路等效为共源放大器，$A_v = -g_{\rm m1} R_{\rm D}$\\
可见：以电阻作为共源共栅结构的负载无法得到大增益

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/共源共栅放大器小信号模型（不考虑二级效应）.pdf}
    \caption{不考虑二级效应的共源共栅放大器小信号模型}
    \label{fig:不考虑二级效应的共源共栅放大器小信号模型}
\end{figure}

以理想电流源作为负载时，若假定等效跨导 $G_{\rm m} \approx g_{\rm m1}$，则小信号增益为如下式所示\\
可见，共源共栅结构的本征增益约为单晶体管本征增益的平方
$$
A_v = -G_{\rm m} R_{\rm out} = -g_{\rm m1} r_{\rm o1} \cdot g_{\rm m2} r_{\rm o2}
$$

常用共源共栅的PMOS电流源作为共源共栅放大器的负载，如图 \ref{fig:以共源共栅电流源作负载的共源共栅放大器} 所示\\
用近似的输出电阻、等效跨导可得小信号增益为：
$$
A_v \approx -g_{\rm m1} \cdot(g_{\rm m2}r_{\rm o2}r_{\rm o1} \parallel g_{\rm m3}r_{\rm o3}r_{\rm o4})
$$

\begin{quote}
    粗略地说，此结构消耗的电压余度为 $4V_{\rm OD}$
\end{quote}

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/以共源共栅作负载的共源共栅放大器.pdf}
    \caption{以共源共栅电流源作负载的共源共栅放大器}
    \label{fig:以共源共栅电流源作负载的共源共栅放大器}
\end{figure}

\paragraph{等效跨导的精确求解}

下面精确求解共源共栅结构的等效跨导 $G_{\rm m}$ 与本征增益 $A_v$，如图 \ref{fig:共源共栅结构的等效跨导计算} 中图所示 
\begin{enum}
\item 等效跨导 $G_{\rm m}$ = 输出端短路电流 $I_{\rm out}\, / $输入 $V_{\rm in}$\\
    $\rm M_1$ 漏极电流分流为 $I_{\rm out}$ 与 $r_{\rm o1}$ 上电流（小信号模型中 $I_1=0$）
    $$
    I_{\rm out} = g_{\rm m1} V_{\rm in} \cdot \frac{r_{\rm o1}}
    {r_{\rm o1} + \dfrac{r_{\rm o2}}{(g_{\rm m2} + g_{\rm mb2})r_{\rm o2}+1}}
    $$
    因此等效跨导如下式所示，可见其分母恰为共源共栅结构的输出电阻 $R_{\rm out}$
    $$
    G_{\rm m} = \frac{I_{\rm out}}{V_{\rm in}} = 
    \frac{g_{\rm m1}r_{\rm o1}}
    {r_{\rm o1} + \dfrac{r_{\rm o2}}{(g_{\rm m2} + g_{\rm mb2})r_{\rm o2}+1}}
    = \frac{g_{\rm m1}r_{\rm o1}\big[(g_{\rm m2}+g_{\rm mb2})r_{\rm o2}+1\big]}
    {\big[(g_{\rm m2}+g_{\rm mb2})r_{\rm o2}+1\big]r_{\rm o1}+r_{\rm o2}}
    $$
\item 以理想电流源为负载的增益即为本征增益
    $$
    A_v = -G_{\rm m} R_{\rm out} = -g_{\rm m1} r_{\rm o1} \cdot \big[(g_{\rm m2}+g_{\rm mb2})r_{\rm o2}+1\big]
    \approx  -g_{\rm m1} r_{\rm o1} \cdot g_{\rm m2} r_{\rm o2}
    $$
\end{enum}

\begin{quote}
    共源共栅结构的本征增益即为 $\rm M_1$ 的本征增益用 $\rm M_2$ 放大 $\big[(g_{\rm m2}+g_{\rm mb2})r_{\rm o2} +1\big]$ 倍
    
\end{quote}

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/共源共栅结构的等效跨导.pdf}
    \caption{共源共栅结构的等效跨导计算}
    \label{fig:共源共栅结构的等效跨导计算}
\end{figure}

\begin{quote}
也可如图 \ref{fig:共源共栅结构的等效跨导计算} 右图所示，将 $\rm M_1$ 戴维宁等效后按照共栅放大器计算
\end{quote}

\paragraph{共源共栅结构的增益优势}

由于 $A_v = -G_{\rm m} \cdot R_{\rm out}$，若要提升小信号增益：
\begin{enum}
\item 增加 $G_{\rm m}$：可改变偏置电流或增大器件尺寸（寄生电容增大）
\item 增大 $R_{\rm out}$：增大沟道长度、采用共源共栅结构
\end{enum}

如图 \ref{fig:增大MOS的输出电阻}，在 $I_{\rm D}$ 不变的情况下：
\begin{enum}
\item 增大沟道长度 $L$ 为 $4L$ 使得 $r_{\rm out} = 4r_{\rm o}$，但等效跨导减小为 $g_{\rm m}/2$
\item 采用共源共栅结构使得 $R_{\rm out} \approx g_{\rm m2}r_{\rm o2}r_{\rm o1}$，等效跨导仅略微减小
\item 由于 $I_{\rm D} \propto (W/L) V_{\rm OD}^2$，两者消耗的电压余度相同
\end{enum}
\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/增大MOS的输出电阻.pdf}
    \caption{增大MOS的输出电阻}
    \label{fig:增大MOS的输出电阻}
\end{figure}

\subsubsection{其它问题}

\paragraph{共源共栅的屏蔽作用}
共源共栅结构的输出电阻很大，也就是说输出端电压变化对电路工况影响很小\\
以图 \ref{fig:共源共栅结构的屏蔽作用} 中电路为例，若电路其它部分使得 $\Delta V = V_X-V_Y \ne 0$，则对于采用共源共栅结构的电路：
$$
\Delta V_{PQ} = \frac{r_{\rm o1}}{[1+(g_{\rm m3}+g_{\rm mb3})r_{\rm o3}]r_{\rm o1}+r_{\rm o3}} \cdot \Delta V
\approx \frac{\Delta V}{(g_{\rm m3}+g_{\rm mb3})r_{\rm o3}}
$$
因此，共源共栅结构使得两侧电路的电流失配 $\Delta I$ 大约减小为原来的 $1/(g_{\rm m3}+g_{\rm mb3})r_{\rm o3}$ 倍

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/共源共栅结构的屏蔽作用.pdf}
    \caption{共源共栅结构的屏蔽作用}
    \label{fig:共源共栅结构的屏蔽作用}
\end{figure}

\paragraph{共源共栅的耐压能力}
共源共栅结构有更多的串联晶体管，这使得输出电压范围减小

另一方面，各串联晶体管各自承担一部分的电压，使得电路可以忍受更高的 $V_{\rm DD}$ 而不被击穿\\
对于击穿电压较小的深亚微米工艺，常用共源共栅结构增大 $V_{\rm DD}$，增大输出电压范围，提高信噪比

\subsubsection{折叠式共源共栅}

共源共栅结构的设计思路：将输入电压转化为电流，并作为共栅级的输入\\
实际上输入晶体管与共源共栅晶体管不必是同一类型，形成折叠式共源共栅结构如图 \ref{fig:折叠式共源共栅结构} 所示

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/折叠式共源共栅结构.pdf}
    \caption{折叠式共源共栅结构}
    \label{fig:折叠式共源共栅结构}
\end{figure}

折叠式共源共栅结构的大信号特性如图 \ref{fig:折叠式共源共栅的大信号特性} 所示\\
输入管将输入电压转化为电流，通过分流$I_1$来使共栅放大器工作

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/折叠式共源共栅的大信号特性.pdf}
    \caption{折叠式共源共栅的大信号特性}
    \label{fig:折叠式共源共栅的大信号特性}
\end{figure}

在小信号模型中理想电流源 $I_1$ 不出现，折叠式共源共栅结构的小信号模型与普通共源共栅结构相同\\
这种情况下，折叠与否不影响共源共栅结构的小信号增益

实际中需要用晶体管作为非理想电流源，则输出电阻为：
$$
R_{\rm out} = \big[1+(g_{\rm m2} + g_{\rm mb2}) r_{\rm o2} \big] (r_{\rm o1} \parallel r_{\rm o3}) + r_{\rm o2}
$$
可见，折叠式共源共栅结构的输出电阻小于非折叠式

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/折叠式共栅结构的输出电阻.pdf}
    \caption{折叠式共栅结构的输出电阻}
    \label{fig:折叠式共栅结构的输出电阻}
\end{figure}

\section{差动放大器}

\subsection{单端与差动}

\begin{quote}
noise：随机噪声\\
interference：干扰，在一定程度上可预测
\end{quote}

\begin{quote}
噪声来源：晶体管噪声、电阻噪声、VDD与GND噪声（电源纹波、串扰）
\end{quote}

一对差动信号 $V_1 = V_{\rm B} + v_{\rm in}/2$，$V_1 = V_{\rm B} - v_{\rm in}/2$
\begin{enum}
\item 共模信号 $V_{\rm CM} = (V_1 + V_2)/2 = V_{\rm B}$
\item 差模信号 $V_{\rm diff} = (V_1-V_2)/2 = v_{\rm in}$
\end{enum}

差动电路的优势：
\begin{enum}
    \item 抑制噪声与干扰（电源噪声、共模噪声）
    \item 增大输出摆幅（由 $0\sim V_{\rm max}$ 变为 $-V_{\rm max} \sim V_{\rm max}$）
\end{enum}

差动电路的劣势：
\begin{enum}
    \item 芯片面积与功耗翻倍
    \item 差动的每一半中各自独立的噪声部分增大
\end{enum}

\subsection{基本差动对}

最简单的差动放大器：一对相同的单端放大器，输入小信号反相
\begin{enum}
    \item 抑制噪声、输出摆幅增大
    \item 差动放大器的工作点受到共模电压影响
    \item 工作点偏移会改变小信号增益
    \item 工作点偏移会降低输出摆幅
    \item 工作点偏移可能使两管交替截止，使输出严重失真
\end{enum}

所希望的差动放大器：差模放大特性受输入共模信号的影响尽量小\\
利用如图 \ref{fig:基本差动对} 所示基本差动对可部分实现以上期望

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/基本差动对.pdf}
    \caption{基本差动对}
    \label{fig:基本差动对}
\end{figure}

\subsubsection{定性分析}

\paragraph{差动特性}

基本差动对在 $V_{\rm in1} - V_{\rm in2}$ 从 $-\infty$ 变化至 $+\infty$ 的过程中的差动特性
如图 \ref{fig:基本差动对的输入输出特性} 所示
\begin{enum}
\item 某支路截止时，本侧输出端取得最大电平 $V_{\rm DD}$，对侧输出端取得最小电平 $V_{\rm DD} - R_{\rm D} I_{\rm SS}$\\
      单输出端的极值输出电平与共模电平无关
\item 从斜率上看，差模增益在 $V_{\rm in1} = V_{\rm in2}$ 时达到最大，随 $|V_{\rm in1} - V_{\rm in2}|$ 增大而逐渐减小至0
\end{enum}

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/基本差动对的输入输出特性.pdf}
    \caption{基本差动对的直流差动特性}
    \label{fig:基本差动对的输入输出特性}
\end{figure}

\paragraph{共模特性}

令 $V_{\rm in1} = V_{\rm in2} = V_{\rm in,CM}$ 变化得到基本差动对的共模特性如图 \ref{fig:基本差动对的共模特性} 所示 
\begin{enum}
\item $V_{\rm in,CM} < V_{\rm TH}$ 时两输入晶体管截止，$\rm M_3$ 被迫进入深线性区，$V_{\rm P} = 0$
\item $V_{\rm in,CM}$ 增大至使两输入晶体管开始导通，则$\rm M_1,M_2$ 近似为源跟随器，$\rm M_3$ 电流增大并向饱和区靠近
\item $V_{\rm in,CM}$ 增大至使 $\rm M_3$ 饱和成为电流源，$V_{\rm out}=V_{\rm DD}-R_{\rm D}I_{\rm SS}/2$ 
      几乎不再受 $V_{\rm in,CM}$ 影响
\item $V_{\rm in,CM} > V_{\rm DD}-R_{\rm D}I_{\rm SS}/2+V_{\rm TH}$ 会使$\rm M_1,M_2$ 进入线性区（这一临界值可能比$V_{\rm DD}$大）
\end{enum}

综合以上分析，共模电平应当处于以下范围内
$$
V_{\rm GS1} + (V_{\rm GS3}+V_{\rm TH3}) \le V_{\rm in,CM} \le 
\min\left[V_{\rm DD}-R_{\rm D}\frac{I_{\rm SS}}{2}+V_{\rm TH}, V_{\rm DD}\right]
$$

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/基本差动对的共模特性.pdf}
    \caption{基本差动对的共模特性}
    \label{fig:基本差动对的共模特性}
\end{figure}

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/基本差动对共模电平与小信号增益关系示意图.pdf}
    \caption{基本差动对共模电平与小信号差动增益关系示意图}
    \label{fig:基本差动对共模电平与小信号增益关系示意图}
\end{figure}

\paragraph{输出摆幅}

对输出电平的要求（增益足够大使输入小信号可忽略时）
\begin{enum}
\item 输出端最高电平可取得 $V_{\rm out,max} = V_{\rm DD}$
\item 两输入晶体管不能进入线性区 $V_{\rm out} > V_{\rm in,CM} - V_{\rm TH1}$
    $$
    V_{\rm out,min} = \max\Big[V_{\rm DD}-R_{\rm D}I_{\rm SS},\; V_{\rm in,CM}-V_{\rm TH}\Big]
    $$
\item 在 $V_{\rm in,CM}$ 取其允许的最小值$V_{\rm GS1}+V_{\rm GS3}-V_{\rm TH3}$时，输出摆幅达到最大
    $$
    (V_{\rm GS1}-V_{\rm TH1}) + (V_{\rm GS3}-V_{\rm TH3}) \le V_{\rm out1} \le V_{\rm DD}
    $$
\end{enum}

\subsubsection{大信号定量分析}

假定电路是对称的，下面计算差动电流 $I_{\rm D1} - I_{\rm D2}$
$$
\begin{aligned}
V_{\rm in1} - V_{\rm in2} 
= V_{\rm GS1} - V_{\rm GS2} 
= \sqrt{\frac{2I_{\rm D1}}{\mu_{\rm n}C_{\rm ox}W/L}} - \sqrt{\frac{2I_{\rm D2}}{\mu_{\rm n}C_{\rm ox}W/L}}
\end{aligned}
$$
上式两侧取平方，将 $I_{\rm D1} + I_{\rm D2} = I_{\rm SS}$ 代入
$$
\begin{aligned}
&(V_{\rm in1} - V_{\rm in2})^2 = \frac{2}{\mu_{\rm n}C_{\rm ox}W/L} (I_{\rm SS}-2\sqrt{I_{\rm D1}I_{\rm D2}})\\
&\frac{1}{2}\mu_{\rm n}C_{\rm ox}\frac{W}{L} (V_{\rm in1} - V_{\rm in2})^2 - I_{\rm SS} = -2\sqrt{I_{\rm D1}I_{\rm D2}}
\end{aligned}
$$
上式两侧取平方，考虑到 $4I_{\rm D1}I_{\rm D2} = (I_{\rm D1}+I_{\rm D2})^2 - (I_{\rm D1}-I_{\rm D2})^2 = I_{\rm SS}^2 - (I_{\rm D1}-I_{\rm D2})^2$
$$
\begin{aligned}
I_{\rm D 1}-I_{\rm D 2}
&=\frac{1}{2} \mu_{\rm n} C_{\rm o x} \frac{W}{L}\left(V_{\rm i n 1}-V_{\rm i n 2}\right) \sqrt{\frac{4 I_{\rm S S}}{\mu_{\rm n} C_{\rm o x} {W}/{L}}-\left(V_{\rm i n 1}-V_{\rm i n 2}\right)^2}\\
&=\sqrt{\mu_{\rm n} C_{\rm o x} \frac{W}{L} I_{\rm S S}}\left(V_{\rm i n 1}-V_{\rm i n 2}\right) \sqrt{1-\frac{\mu_n C_{\rm o x}(W / L)}{4 I_{\rm S S}}\left(V_{\rm i n 1}-V_{\rm i n 2}\right)^2}
\end{aligned}
$$
令 $I_{\rm D,diff} = I_{\rm D1} - I_{\rm D2}$，$V_{\rm in,diff} = V_{\rm in1} - V_{\rm in2}$，则定义等效跨导为：
$$
G_{\rm m} = \frac{\partial I_{\rm D,diff}}{\partial V_{\rm in,diff}}
=\frac{1}{2} \mu_{\rm n} C_{\rm ox} \frac{W}{L} \frac{\dfrac{4 I_{\rm SS}}{\mu_{\rm n} C_{\rm ox} W / L}-2 V_{\rm in,diff}^2}
{\sqrt{\dfrac{4 I_{\rm S S}}{\mu_{\rm n} C_{\rm ox} W / L}- V_{\rm i n,diff}^2}}
$$
注意以上推导仅对饱和区有效，可绘制关系曲线如图 \ref{fig:基本差动对的漏极电流与等效跨导} 所示

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/基本差动对的漏极电流与等效跨导.pdf}
    \caption{基本差动对的漏极电流与等效跨导}
    \label{fig:基本差动对的漏极电流与等效跨导}
\end{figure}

在平衡状态下 $V_{\rm in,diff}=0$，则电路跨导取得如下最大值：
$$
G_{\rm m} = \sqrt{2\cdot \frac{I_{\rm SS}}{2} \mu_{\rm n}C_{\rm ox} \frac{W}{L}} = g_{\rm m1} = g_{\rm m2}
$$
平衡状态下的小信号增益为：
$$
A_{v,\rm diff} = -G_{\rm m}R_{\rm D} = -\sqrt{I_{\rm SS}\mu_{\rm n}C_{\rm ox}W/L} \cdot R_{\rm D}
$$

在 $|V_{\rm in,diff}| > V_{\rm in,diff1}$ 时，一侧MOS管进入截止区，以上计算不成立\\
在饱和区边缘 $I_{\rm D1} = I_{\rm SS}, I_{\rm D2} = 0$ 可得临界电压为：
$$
|V_{\rm in,diff1}| = |V_{\rm in1} - V_{\rm in2}| 
= \left|\sqrt{\frac{2I_{\rm D1}}{\mu_{\rm n}C_{\rm ox}W/L}} - \sqrt{\frac{2I_{\rm D2}}{\mu_{\rm n}C_{\rm ox}W/L}}\right|
= \sqrt{\frac{2I_{\rm SS}}{\mu_{\rm n}C_{\rm ox}W/L}}
$$
从上式也可看出，$|V_{\rm in,diff1}|$ 是平衡态过驱动电压的 $\sqrt{2}$ 倍
$$
|V_{\rm in,diff1}| = \sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{2(I_{\rm SS}/2)}{\mu_{\rm n}C_{\rm ox}W/L}}
=\sqrt2 \cdot (V_{\rm GS} - V_{\rm TH})\big|_{V_{\rm in,diff}=0}
$$
在超出临界电压的区域，$I_{\rm SS}$ 全部通过一条支路，$I_{\rm D,diff}=I_{\rm SS}$，
$V_{\rm in,diff}$ 对 $I_{\rm D,diff}$ 的控制能力为0

下面考虑电路参数对基本差动对的差模输入输出特性的影响，如图 \ref{fig:电路参数对基本差动对差模特性的影响} 所示
\begin{enum}
\item 增大 $W/L$ 使平衡态 $V_{\rm OD}$ 减小，从而 $V_{\rm in,diff1}$ 减小，输入范围减小\\
      增大 $W/L$ 使 $g_{\rm m}$ 增大，从而增益增大\\
      增大 $W/L$ 使增益线性度恶化
\item 增大 $I_{\rm SS}$ 使平衡态 $V_{\rm OD}$ 增大，从而$V_{\rm in,diff1}$ 增大，输入范围增大\\
      增大 $I_{\rm SS}$ 使 $g_{\rm m}$ 增大，从而增益增大\\
      增大 $I_{\rm SS}$ 使增益线性度改善
\end{enum}

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/基本差动对差模特性与电路参数.pdf}
    \caption{电路参数对基本差动对差模特性的影响}
    \label{fig:电路参数对基本差动对差模特性的影响}
\end{figure}

\subsubsection{小信号定量分析}

\paragraph{叠加法}

可将两输入端的小信号视为相互独立的，则可利用叠加原理分别计算两者各自对输入端造成的影响，再叠加\\
如图 \ref{fig:基本差动对小信号分析叠加法} 左图所示

首先计算 $V_{\rm in1}$ 对 $V_{\rm out1}$ 的影响，则右半部分电路视为负载电阻 $R_{\rm S}$，整个电路可视为有源极负反馈的共源放大器\\
假定 $\lambda = \eta = 0$，则 $r_{\rm o} = \infty$
$$
R_{\rm S} = \frac{1}{g_{\rm m2}}
\qquad\Longrightarrow\qquad 
\frac{V_{\rm out1}}{V_{\rm in1}} = -\frac{g_{\rm m1}}{1+g_{\rm m1}R_{\rm S}} \cdot R_{\rm D1}
= -\frac{R_{\rm D}}{1/g_{\rm m1} + 1/g_{\rm m2}}
$$

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/基本差动对小信号分析叠加法.pdf}
    \caption{基本差动对的小信号分析（叠加法）}
    \label{fig:基本差动对小信号分析叠加法}
\end{figure}

再计算 $V_{\rm in1}$ 对 $V_{\rm out2}$ 的影响，如图 \ref{fig:基本差动对小信号分析叠加法(2)} 所示\\
将左半部分电路戴维宁等效，其易得其等效内阻 $R_{\rm T}=1/g_{\rm m1}$\\
在求开路电压时，小信号电流$I=0$，对应大信号 $\Delta I=0$，即$\rm M_1$大信号电流恒定，则 $V_{\rm GS}$ 恒定\\
这是一个理想源随器，小信号模型中开路电压 $V_{\rm T} = V_{\rm in1}$

完成戴维宁等效后，电路转化为共栅放大器，其增益为：
$$
\frac{V_{\rm out2}}{V_{\rm in1}} = \left(R_{\rm T} + \frac{1}{g_{\rm m2}}\right)^{-1} \cdot R_{\rm D2} 
= \frac{R_{\rm D}}{1/g_{\rm m1}+1/g_{\rm m2}}
$$

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/基本差动对小信号分析叠加法2.pdf}
    \caption{基本差动对的小信号分析（叠加法）}
    \label{fig:基本差动对小信号分析叠加法(2)}
\end{figure}

由以上两步，由 $V_{\rm in1}$ 造成的小信号 $V_{\rm out,diff}$ 如下所示，其中令 $g_{\rm m1} = g_{\rm m2} = g_{\rm m}$
$$
(V_{\rm out1}-V_{\rm out2})\big|_{\text{due to $V_{\rm in1}$}} = \frac{-2R_{\rm D}}{1/g_{\rm m1}+1/g_{\rm m2}} V_{\rm in1}
= -g_{\rm m}R_{\rm D} V_{\rm in1}
$$
完全对称地，可得：
$$
(V_{\rm out2}-V_{\rm out1})\big|_{\text{due to $V_{\rm in2}$}} = \frac{-2R_{\rm D}}{1/g_{\rm m1}+1/g_{\rm m2}} V_{\rm in2}
= -g_{\rm m}R_{\rm D} V_{\rm in2}
$$
因此
$$
A_v = \frac{(V_{\rm out1}-V_{\rm out2})\big|_{\rm total}}{V_{\rm in1} - V_{\rm in2}}
= -g_{\rm m} R_{\rm D}
$$

\begin{quote}
    由此可见，小信号增益与差动小信号施加方式无关\\
    即使是单边输入，差动小信号增益仍然为 $-g_{\rm m}R_{\rm D}$\\
    如果是单边输出，则增益减半
\end{quote}

\paragraph{半边电路法}

首先，证明对于一个图 \ref{fig:对称性虚地辅助定理} 所示对称性线性电路，$P$点电平恒定\\
假定初始时刻 $V_{\rm in1} = V_{\rm in2} = V_{\rm 0}$，$V_{\rm 1} = V_{\rm 2} = V_{\rm a}$\\
$P$ 点电平恒定的原因是输入端变化的 $\Delta V_{\rm in}$ 全部被 $\Delta V_{1}, \Delta V_2$ 所吞噬，证明如下

由于 $I_1+I_2= I_{\rm T}$ 恒定，对于线性跨导 $g_{\rm m}$
$$
\Delta I_1 + \Delta I_2 = 0
\qquad\Longrightarrow\qquad 
g_{\rm m} \Delta V_{\rm 1} + g_{\rm m} \Delta V_{2} = 0
\qquad\Longrightarrow\qquad 
\Delta V_1 = -\Delta V_2
$$
从左右两侧计算得到的 $V_{P}$ 应当相同
$$
V_{\rm in1} - V_1 = V_{\rm in2} - V_2 
\quad\Longrightarrow\quad 
(V_0 + \Delta V_{\rm in}) - (V_{\rm a}+\Delta V_1) = (V_0 - \Delta V_{\rm in}) - (V_{\rm a} + \Delta V_2)
\quad\Longrightarrow\quad 
\Delta V_1 = \Delta V_{\rm in}
$$
因此输入的变化 $\Delta V_{\rm in}$ 全部被 $\Delta V_1, \Delta V_2$ 吞噬， $V_P$ 为如下恒定值
$$
\begin{aligned}
    V_{P} &= V_{\rm in1} - V_1 = (V_{\rm 0} + \Delta V_{\rm in}) - (V_{\rm a} + \Delta V_1) = V_0 + V_{\rm a}\\
    V_{P} &= V_{\rm in2} - V_2 = (V_{\rm 0} - \Delta V_{\rm in}) - (V_{\rm a} + \Delta V_2) = V_0 + V_{\rm a}
\end{aligned}
$$

注意：利用对称性虚地时必须保证两侧电路及其偏置完全相同、两侧输入完全反相对称、电路线性%变化量足够小以致电路为线性

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/对称性虚地辅助定理.pdf}
    \caption{对称性虚地辅助定理图示}
    \label{fig:对称性虚地辅助定理}
\end{figure}


由于P点为虚地，可将基本差动对拆分为两个半边电路，如图 \ref{fig:基本差动对的小信号分析（半边电路法）} 所示\\
则对于每一侧的电路，利用单端放大器相关结论易得：
$$
\frac{V_{\rm out1}}{V_{\rm in1}} = \frac{V_{\rm out2}}{V_{\rm in2}} = -g_{\rm m} (R_{\rm D} \parallel r_{\rm o})
\qquad\Longrightarrow\qquad 
A_v = \frac{V_{\rm out1} - V_{\rm out2}}{V_{\rm in1} - V_{\rm in2}} = -g_{\rm m} (R_{\rm D} \parallel r_{\rm o})
$$

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/基本差动对小信号分析半边电路法.pdf}
    \caption{基本差动对的小信号分析（半边电路法）}
    \label{fig:基本差动对的小信号分析（半边电路法）}
\end{figure}

如果输入信号不是全差动的，可以将其分解为差模分量与共模分量\\
最终电路的响应为一个差动输入响应与一个共模输入响应的叠加
$$
\begin{aligned}
    V_{\rm in1} &= \frac{V_{\rm in1}-V_{\rm in2}}{2} + \frac{V_{\rm in1}+V_{\rm in2}}{2}\\
    V_{\rm in2} &= \frac{V_{\rm in2}-V_{\rm in1}}{2} + \frac{V_{\rm in1}+V_{\rm in2}}{2}
\end{aligned}
$$

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/任意信号提取共模分量与差模分量.pdf}
    \caption{任意信号提取共模分量与差模分量}
    \label{fig:任意信号提取共模分量与差模分量}
\end{figure}

\subsubsection{有源极负反馈的基本差动对}

基本差动对也可增加源极负反馈电阻来提高线性度、增大差动输入范围（以牺牲增益为代价），如图 \ref{fig:有源极负反馈的基本差动对} 所示

考虑临界差动输入时 $I_{\rm D1} = I_{\rm SS}$，$I_{\rm D2}=0$，则 
$V_{\rm in} - V_{\rm GS1} - R_{\rm S} I_{\rm SS} = V_{\rm in2} - V_{\rm TH}$
\begin{align*}
    V_{\rm in1} - V_{\rm in2} = V_{\rm GS1} - V_{\rm TH} + R_{\rm S} I_{\rm SS} 
                              = \sqrt{\frac{2I_{\rm SS}}{\mu_{\rm n}C_{\rm ox}W/L}} + R_{\rm S} I_{\rm SS}
\end{align*}
因此，引入源极负反馈电阻$R_{\rm S}$使有效差动输入范围增加了 $R_{\rm S}I_{\rm SS}$

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/有源极负反馈的基本差动对.pdf}
    \caption{有源极负反馈的基本差动对}
    \label{fig:有源极负反馈的基本差动对}
\end{figure}

源极负反馈电阻 $R_{\rm S}$ 上的压降会消耗电压余度\\
在平衡条件下最小输入共模电平、最小输出电平均增加$R_{\rm S}I_{\rm SS}/2$，最大差动输出摆幅减小$R_{\rm S}I_{\rm SS}$\\
可以通过分割尾电流源来避免$R_{\rm S}$ 上的压降，如图 \ref{fig:分割尾电流源的负反馈差动对} 所示\\
这一结构的虚地点位于 $2R_{\rm S}$ 的中央

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/有源极负反馈的基本差动对改进.pdf}
    \caption{分割尾电流源的负反馈差动对}
    \label{fig:分割尾电流源的负反馈差动对}
\end{figure}

\begin{quote}
    使用两个尾电流源会使电路差模噪声与失调加剧
\end{quote}

\subsection{共模响应}

理想的共模响应如图 \ref{fig:基本差动对共模电平与小信号增益关系示意图} 所示中段所示
\begin{enum}
    \item 电路完全对称、理想的尾电流源
    \item 只要使两MOS管饱和，则对称性使得两 $R_{\rm D}$ 上的压降相等，从而 $V_{\rm out}$ 与共模电平无关
\end{enum}

非理想因素：
\begin{enum}
    \item 尾电流源非理想（沟道长度调制）
    \item 电路失配（$\Delta W, \Delta V_{\rm TH}, \Delta R_{\rm D}$使电路不对称）造成输出失调
\end{enum}

由于存在非理想因素，差动电路即使处于饱和区，也无法做到理想状况下差模输出与共模输入无关

\begin{quote}
    失调（offset）：在 $V_{\rm in,diff}=0$ 时 $V_{\rm out,diff} \ne 0$
\end{quote}

\subsubsection{非理想尾电流源}

输入 $V_{\rm in1} = V_{\rm in2} = V_{\rm in,CM}$，尾电流源内阻 $R_{\rm SS}$，电路对称，
如图 \ref{fig:尾电流源非理想的基本差动对的共模响应} 所示\\
假定电路完全对称，则 $V_{\rm out1} = V_{\rm out2}$，可使两者短接，则电路转化为有源极负反馈的共源放大器\\
并联MOS管 $\rm M_1+M_2$ 沟道宽度为单管的两倍，偏置电流为单管的两倍，因此跨导为单管的两倍
$$
A_{v,\rm CM} = \frac{V_{\rm out,CM}}{V_{\rm in,CM}} 
= - \frac{2g_{\rm m}}{1+2g_{\rm m}R_{\rm SS}} \cdot \frac{R_{\rm D}}{2}
= - \frac{ g_{\rm m}}{1+2g_{\rm m}R_{\rm SS}} \cdot R_{\rm D}
%= -\frac{R_{\rm D}/2}{1/(2g_{\rm m}) + R_{\rm SS}}
$$

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/基本差动对共模响应非理想尾电流源.pdf}
    \caption{尾电流源非理想的基本差动对的共模响应}
    \label{fig:尾电流源非理想的基本差动对的共模响应}
\end{figure}

也可采用如图 \ref{fig:尾电流源非理想的基本差动对的共模响应（方法2）} 所示方法，
将尾电流源$R_{\rm SS}$ 拆分为两个 $2R_{\rm SS}$ 的并联\\
由于电路对称，图中虚线上无电流可以断开，利用源极负反馈相关结论可直接得到电路的共模增益
$$
A_{v,\rm CM} = -\frac{g_{\rm m}}{1 + g_{\rm m} \cdot 2R_{\rm SS}} \cdot R_{\rm D}
$$

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.10]{figures/基本差动对共模响应非理想尾电流源2.pdf}
    \caption{尾电流源非理想的基本差动对的共模响应（方法2）}
    \label{fig:尾电流源非理想的基本差动对的共模响应（方法2）}
\end{figure}

也可直接从反馈的角度来获得单侧跨导\\
$\rm M_1$ 的栅极为正输入端，源极为负输入端，将电压信号转化为电流信号，跨导 $g_{\rm m}$\\
反馈环路从 $\rm M_1$ 的栅极开始$\Delta V$，转化为电流 $g_{\rm m1}\Delta V$，与对侧合流为 $(g_{\rm m1}+g_{\rm m2})\Delta V$\\
再经过电阻转化为电压 $(g_{\rm m1}+g_{\rm m2})\Delta V R_{\rm SS}$ 到达负输入端\\
%$R_{\rm SS}$是反馈回路，由于 $I_{\rm D1}=I_{\rm D2}$ 反馈回的电压为 $2I_{\rm D1}R_{\rm SS}$，从单侧的角度看反馈增益 $2R_{\rm SS}$\\
综上，前向增益 $g_{\rm m}$，环路增益 $(g_{\rm m1}+g_{\rm m2}) \cdot R_{\rm SS} = 2g_{\rm m}R_{\rm SS}$，由此可得单侧跨导与共模增益
$$
A_{v,\rm CM} = -\frac{g_{\rm m}}{1 + (g_{\rm m1} + g_{\rm m2}) \cdot R_{\rm SS}} \cdot R_{\rm D}
             = -\frac{g_{\rm m}}{1 + 2g_{\rm m} \cdot R_{\rm SS}} \cdot R_{\rm D}
$$


非理想尾电流源的对对称电路的影响
\begin{enum}
\item 共模输入会干扰偏置点， $V_{\rm out,CM}$ 不是恒值
\item 偏置点漂移会改变小信号增益
\item $V_{\rm out,CM}$ 变化可能减小输出电压摆幅
\end{enum}

要减小共模增益，需要增大 $R_{\rm SS}$，通常尾电流源MOS管的沟道长度较长\\
当输入高频信号时，寄生电容将使尾电流源阻抗减小，造成不良影响

\subsubsection{电路失配}

在考虑电流源非理想的基础上再考虑电路失配，则共模的变化会引起差模变化

\paragraph{负载电阻失配}

仅考虑负载电阻失配$\Delta R_{\rm D}$，尾电流源内阻 $R_{\rm SS}$，$\lambda=\eta=0$，如图 \ref{fig:基本差动对负载电阻失配} 所示\\
对P点左右两侧电路分别戴维宁等效，两者均有 $V_{\rm T}=V_{\rm in,CM}$，$R_{\rm T}=1/g_{\rm m}$，合并为 $R_{\rm T1}=1/2g_{\rm m}$\\
则共模输入变化 $\Delta V_{\rm in,CM}$ 时两侧电流增量分别为：
$$
\Delta I_{\rm D1} = \Delta I_{\rm D2} 
= \frac{1}{2} \cdot \frac{R_{\rm SS}}{1/(2g_{\rm m})+R_{\rm SS}} \cdot \Delta V_{\rm in,CM} \cdot \frac{1}{R_{\rm SS}}
= \frac{g_{\rm m}}{1+2g_{\rm m}R_{\rm SS}} \cdot \Delta V_{\rm in,CM}
$$
因此，两侧输出电压变化分别为：
\begin{align*}
    \Delta V_{\rm out1} &= -\frac{g_{\rm m}}{1+2g_{\rm m}R_{\rm SS}} \cdot \Delta V_{\rm in,CM} \cdot R_{\rm D}\\
    \Delta V_{\rm out2} &= -\frac{g_{\rm m}}{1+2g_{\rm m}R_{\rm SS}} \cdot \Delta V_{\rm in,CM} \cdot (R_{\rm D}+\Delta R_{\rm D})
\end{align*}
由上可知，尾电流源内阻 $R_{\rm SS}$ 与负载电阻失配 $\Delta R_{\rm D}$ 共同导致共模输入变化产生差模输出变化

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    %\includegraphics{figures/基本差动对负载电阻失配.pdf}
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/基本差动对负载电阻失配.pdf}
    \caption{基本差动对负载电阻失配}
    \label{fig:基本差动对负载电阻失配}
\end{figure}

上述 $\Delta V_{\rm out1}, \Delta V_{\rm out2}$ 的表达式也可直接写出\\ 
饱和区不考虑二级效应，漏极电压对MOS电路无影响，因此两边电路的电流仍然是对称的，且与 $R_{\rm D}$ 的值无关\\
单侧前向增益为 $g_{\rm m1}$，单侧反馈环路增益为 $(g_{\rm m1} + g_{\rm m2})R_{\rm SS}$，由此可确定单侧跨导\\
再乘以 $\Delta V_{\rm in,CM}$ 得单侧电流增量，再乘以电阻得 $\Delta V_{\rm out}$
\begin{align*}
\Delta V_{\rm out1} &= -\frac{g_{\rm m}}{1+2g_{\rm m}\cdot R_{\rm SS}} \cdot \Delta V_{\rm in,CM} \cdot R_{\rm D}\\
\Delta V_{\rm out2} &= -\frac{g_{\rm m}}{1+2g_{\rm m}\cdot R_{\rm SS}} \cdot \Delta V_{\rm in,CM} \cdot (R_{\rm D}+\Delta R_{\rm D})
\end{align*}


\paragraph{晶体管跨导失配}

两晶体管长宽比与阈值电压可能不完全相同，导致相同偏置电压下两者跨导 $g_{\rm m1} \ne g_{\rm m2}$\\
仅考虑晶体管跨导失配，尾电流源内阻 $R_{\rm SS}$，$\lambda = \eta = 0$， 如图 \ref{fig:基本差动对晶体管跨导失配} 所示\\
对P点左右两侧电路分别戴维宁等效 
\begin{align*}
    V_{\rm T1} &= V_{\rm in,CM} &
    R_{\rm T1} &= 1/g_{\rm m1 }\\
    V_{\rm T2} &= V_{\rm in,CM} &
    R_{\rm T2} &= 1/g_{\rm m2 }\\
    V_{\rm T } &= V_{\rm in,CM} &
    R_{\rm T } &= \frac{1}{g_{\rm m1}} \parallel \frac{1}{g_{\rm m2 }}
\end{align*}
因此，两侧电路的小信号电流分别为：
\begin{align*}
    I_{\rm D1} &= \frac{V_{\rm in,CM}}{R_{\rm T}+R_{\rm SS}} \cdot 
    \frac{R_{\rm T2}}{R_{\rm T1} + R_{\rm T2}}    
    = \frac{g_{\rm m1}}{1+(g_{\rm m1}+g_{\rm m2})R_{\rm SS}} \cdot V_{\rm in,CM} \\
    I_{\rm D2} &= \frac{V_{\rm in,CM}}{R_{\rm T}+R_{\rm SS}} \cdot 
    \frac{R_{\rm T1}}{R_{\rm T1} + R_{\rm T2}}    
    = \frac{g_{\rm m2}}{1+(g_{\rm m1}+g_{\rm m2})R_{\rm SS}} \cdot V_{\rm in,CM} 
\end{align*}
因此差动输出为：
$$
V_{\rm out1} - V_{\rm out2} = -I_{\rm D1}R_{\rm D} - (-I_{\rm D2}R_{\rm D}) 
= -\frac{g_{\rm m1}-g_{\rm m2}}{1+(g_{\rm m1}+g_{\rm m2})R_{\rm SS}} R_{\rm D} V_{\rm in,CM}
$$
仅考虑晶体管失配时的共模到差模增益为：
$$
A_{\rm CM-DM} = \frac{V_{\rm out,diff}}{V_{\rm in,cm}} 
= \frac{(g_{\rm m1} - g_{\rm m2})R_{\rm D}}{1+(g_{\rm m1}+g_{\rm m2})R_{\rm SS}}
$$

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/基本差动对晶体管跨导失配.pdf}
    \caption{基本差动对晶体管跨导失配}
    \label{fig:基本差动对晶体管跨导失配}
\end{figure}

从反馈理论的角度也可直接写出上述所有表达式，以 $A_{\rm CM-DM}$ 为例，如图 \ref{fig:基本差动对晶体管跨导失配反馈系统框图} 所示 \\
$\rm M_1$ 栅极为正输入端，源极为负输入端，前向通道输出 $V_{\rm out1} - V_{\rm out2}$\\
前向增益 $g_{\rm m1}R_{\rm D} - g_{\rm m2}R_{\rm D}$，反馈环路增益 $(g_{\rm m1}+g_{\rm m2}) R_{\rm SS}$，因此： 
$$
A_{\rm CM-DM}
= \frac{(g_{\rm m1} - g_{\rm m2})R_{\rm D}}{1+(g_{\rm m1}+g_{\rm m2})R_{\rm SS}}
$$

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.00]{figures/基本差动对晶体管跨导失配反馈系统框图.pdf}
    \caption{基本差动对反馈系统框图}
    \label{fig:基本差动对晶体管跨导失配反馈系统框图}
\end{figure}



\subsubsection{共模抑制比CMRR}

共模抑制比（Common Mode Rejection Ratio, CMRR）定义为所期望的增益与不期望的增益之比\\
不考虑 $R_{\rm D}$ 失配时，令 $g_{\rm m} = (g_{\rm m1} + g_{\rm m2})/2$，$\Delta g_{\rm m} = g_{\rm m1}-g_{\rm m2}$
$$
\mathrm{CMRR} = \left|\frac{A_{\rm DM}}{A_{\rm CM-DM}}\right|
\approx \left| \frac{g_{\rm m}R_{\rm D}}{(\Delta g_{\rm m}R_{\rm D})/(1+2g_{\rm m}R_{\rm SS})} \right|
=\frac{g_{\rm m}}{\Delta g_{\rm m}} (1+2g_{\rm m}R_{\rm SS})
$$

\begin{quote}
    如果 $R_{\rm SS}=\infty$ 则晶体管$g_{\rm m}$与负载电阻$R_{\rm D}$的失配都不会使 $V_{\rm in,CM}$ 影响 $V_{\rm out,diff}$\\
    但若两晶体管的 $g_{\rm mb}$ 失配，则即使 $R_{\rm SS}=\infty$，也无法使得 $A_{\rm CM-DM} = 0$
\end{quote}

\subsection{以MOS为负载的差动对}

同共源放大器一样，基本差动对的负载可以换为：
\begin{enum}
    \item 接成二极管的MOS负载，增益：
        $$
        A_{v,\rm diff} = -g_{\rm m1} \cdot \left[r_{\rm o1} \parallel \frac{r_{\rm o2}}{1+(g_{\rm m2}+g_{\rm mb2})r_{\rm o2}}\right]
        \approx -\frac{g_{\rm m1}}{g_{\rm m2}}
        $$
    \item 电流源负载，增益 $A_{v,\rm diff} = -g_{\rm m1} (r_{\rm o1} \parallel r_{\rm o2})$
    \item 电流源-二极管混合负载 
    \item 共源共栅电流源负载
\end{enum}

对于电流源负载，可用图 \ref{fig:差动对中电流源负载的简易偏置方法} 所示方式提供电流源的偏置电压，其中N点为虚地，因此增益为：
$$
A_{v,\rm diff} = -g_{\rm m1} (r_{\rm o1} \parallel r_{\rm o3} \parallel R_1)
$$

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/差动对中电流源负载的偏置方法.pdf}
    \caption{差动对中电流源负载的简易偏置方法}
    \label{fig:差动对中电流源负载的简易偏置方法}
\end{figure}

高增益的全差动放大器需要一种确定输出共模电平的方式\\
以电流源为负载、以共源共栅电流源为负载时，输出共模电平难以确定

%\subsection{Gilbert Cell}
%
%Gilbert Cell 的作用
%\begin{enum}
%    \item 可变增益放大器
%    \item 混频器
%\end{enum}

\section{电流镜与偏置技术}

\subsection{基本电流镜}

模拟集成电路中的电流源电流通常是对基准电流$I_{\rm REF}$的复制\\
若两晶体管遵守相同的电流电压关系 $I=f(V_{\rm GS})$ 则 $I_{\rm out} = f(f^{-1}(I_{\rm REF})) = I_{\rm REF}$\\
必须保证 $V_{\rm GS}$ 是由 $I_{\rm REF}$ 产生的，只有二极管接法的MOS才能达到这一目的，
如图 \ref{fig:电流镜原理示意图}

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/基本电流镜原理示意图.pdf}
    \caption{电流镜原理示意图}
    \label{fig:电流镜原理示意图}
\end{figure}

实际上，若令 $\lambda = 0$ 则可用不同 $W/L$ 的器件实现电流加倍 
$$
\begin{aligned}
    I_{\rm REF} &= \frac{1}{2} \mu_{\rm n} C_{\rm ox} \frac{W_1}{L_1} (V_{\rm GS} - V_{\rm TH})^2 \\
    I_{\rm out} &= \frac{1}{2} \mu_{\rm n} C_{\rm ox} \frac{W_2}{L_2} (V_{\rm GS} - V_{\rm TH})^2 
\end{aligned}
\qquad\Longrightarrow\qquad 
I_{\rm out} = \frac{W_2/L_2}{W_1/L_1} \cdot I_{\rm REF}
$$

基本电流镜的缺陷：沟道长度调制效应使得电流复制不准确
$$
\frac{I_{\rm out}}{I_{\rm REF}} = \frac{(W/L)_2}{(W/L)_1} \cdot \frac{1+\lambda V_{\rm DS2}}{1+\lambda V_{\rm DS1}}
$$

\subsubsection{实用性问题}

由于工艺限制 $W$ 与 $L$ 不能精确按比例缩放，通常如图 \ref{fig:用单元晶体管并联实现电流镜} 右图所示用多个相同MOS器件并联构成电流镜，
而不是如  \ref{fig:用单元晶体管并联实现电流镜} 左图所示用一个大尺寸MOS器件倍增电流
\begin{enum}
\item 由于横向扩散长度 $L_{\rm D}$ 的存在使沟道长度 $L$ 无法精确倍增 
\item 短沟道器件的阈值电压 $V_{\rm TH}$ 受沟道长度 $L$ 影响
\item 栅宽的边缘部分无法精确确定使栅宽 $W$ 无法精确倍增，如图 \ref{fig:用单元晶体管并联实现电流镜} 中图所示
\end{enum}

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/用单元晶体管并联实现电流镜.pdf}
    \caption{用单元晶体管并联实现电流镜}
    \label{fig:用单元晶体管并联实现电流镜}
\end{figure}

用基本电流镜实现电流加倍与减半的两种方式如图 \ref{fig:基本电流镜实现电流加倍与减半的两种方式} 所示
\begin{enum}
    \item 电流检测端采用并联等效的双倍沟道宽度器件
    \item 电流输出端采用串联等效的双倍沟道长度器件
\end{enum}

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/基本电流镜实现电流加倍与减半.pdf}
    \caption{基本电流镜实现电流加倍与减半的两种方式}
    \label{fig:基本电流镜实现电流加倍与减半的两种方式}
\end{figure}

\begin{quote}
    在串联等效的双倍沟道长度MOS管中，下方的MOS管处于线性区
\end{quote}

\subsection{共源共栅电流镜}

沟道长度调制效应使基本电流源复制电流的误差较大\\
在电流输出端采用共源共栅结构可缓解此问题，有以下两种解释方式
\begin{enum}
    \item 共源共栅结构的小信号输出电阻极大，电流受输出端电压影响小，更接近理想电流源
    \item 共源共栅结构的屏蔽作用使下端MOS管的 $V_{\rm DS2}$ 变化很小
\end{enum}

若要使 $I_{\rm out} = I_{\rm REF}$ 则需要使构成基本电流源的两MOS管漏源电压相等 $V_{\rm DS1} = V_{\rm DS2}$，有以下两种方案：
\begin{enum}
\item 控制 $V_{\rm DS2}$ 等于 $V_{\rm DS1}$
\item 控制 $V_{\rm DS1}$ 等于 $V_{\rm DS2}$
\end{enum}

在不施加控制时两MOS管的$V_{\rm DS}$ 范围为：
\begin{align*}
&V_{\rm DS1} = V_{\rm GS1} = V_{\rm OD1} + V_{\rm TH} &
&V_{\rm DS2} \ge V_{\rm OD2} 
\end{align*}
对于方案一，$\rm M_2$漏端电压被抬高，将会损失更多的输出电压余度\\
对于方案二，可以改进电路结构使 $V_{\rm DS1} = V_{\rm GS1} - V_{0}$ 从而得到增大输出电压余度，得到低压共源共栅结构

\subsubsection{一般共源共栅电流镜}

对于方案一（控制 $V_{\rm DS2}$ 接近 $V_{\rm DS1}$），可得如图 \ref{fig:共源共栅电流镜} 右图所示一般共源共栅电流镜
\begin{enum}
\item 令电路右半部分是左半部分的比例放大，也就是：$L_0 = L_3,\; L_1 = L_2,\; W_3/W_0 = W_2/W_1=k$
\item 在 $\rm M_0$ 与 $\rm M_3$ 漏端电压相同时，由电路对称性知 $I_{\rm out} = kI_{\rm REF},\; V_X = V_Y$
\item 当P点电压变化时，由共源共栅结构电阻极大知 $I_{\rm out}$ 几乎维持不变，也就是 $I_{\rm out} \approx k I_{\rm REF}$
\item 当P点电压变化时，由共源共栅结构屏蔽作用知 $V_Y$         几乎维持不变，也就是 $V_{\rm DS2} \approx V_{\rm DS1}$
\end{enum}

\begin{quote}
    即使考虑体效应，由于电路的对称性，上述分析依然成立
\end{quote}

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/共源共栅电流镜.pdf}
    \caption{共源共栅电流镜}
    \label{fig:共源共栅电流镜}
\end{figure}

下面考察输出端P点的电压范围
$$
V_{\rm P,\rm min} = V_{\rm OD3} + V_Y \approx V_{\rm OD3} + V_X = V_{\rm OD3} + V_{\rm GS1} = 2V_{\rm OD} + V_{\rm TH}
$$
也就是说，为保证 $V_{Y} \approx V_{X}$ 将Y点电压最低值由 $V_{\rm OD}$ 抬升到 $V_{\rm OD}+V_{\rm TH} = V_{\rm GS1}$，
浪费了输出电压余度

\paragraph{大信号特性}
当共源共栅电流镜输出端电压$V_X$变化时，输出电流$I_X$变化曲线如图 \ref{fig:共源共栅电流镜伏安曲线} 所示 
\begin{enum}
    \item 当 $V_X$ 很大时 $V_B$ 几乎不随 $V_X$ 变化，$I_X$ 也几乎维持恒定 
    \item 随 $V_X$ 减小 $\rm M_3$ 首先进入线性区，因为饱和区的 $\rm  M_3$ 屏蔽了 $V_X$ 对 $V_{B}$ 的影响
    \item 线性区的 $\rm M_3$ 无屏蔽作用，$V_B$ 随着 $V_X$ 减小而减小，$I_X$ 由饱和区 $\rm M_2$ 维持，但因沟道长度调制略有变化\\
        从小信号的角度，线性区 $g_{\rm m3}$ 很小使共源共栅电流镜输出电阻减小，$I_X$ 受 $V_X$ 影响增大
    \item 当 $V_X$ 很小时两者均进入线性区，共源共栅电流镜失效
\end{enum}

\begin{quote}
    假定随 $V_X$ 减小 $\rm M_2$ 先进入线性区，则：\\
    随 $V_B$ 减小 $V_{\rm DS2}$ 减小使 $I_{\rm D2}$ 迅速减小，
    随 $V_B$ 减小 $V_{\rm GS3}$ 增大使 $I_{\rm D3}$ 迅速增加\\
    矛盾，因此 $\rm M_2$ 不首先进入线性区
\end{quote}

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/共源共栅电流镜伏安曲线.pdf}
    \caption{共源共栅电流镜伏安曲线}
    \label{fig:共源共栅电流镜伏安曲线}
\end{figure}

\subsubsection{低电压共源共栅电流镜}
上述共源共栅电流镜为迫使 $V_{\rm DS2}$ 接近 $V_{\rm DS1}$ 使电压余度额外减小了 $V_{\rm TH}$ \\
下面采用方案二迫使 $V_{\rm DS1}$ 接近 $V_{\rm DS2}$，则必须使 $V_{\rm GS1} \ne V_{\rm DS1}$，
否则取 $V_{\rm DS1}$ 电压最低值时 $\rm M_1$ 将截止

使 $V_{\rm DS1} = V_{\rm DS2}$ 取最小值 $V_{\rm OD}$ 以取得最大的输出电压余度，则 $V_{\rm GS1} = V_{\rm DS1} + V_{\rm TH1}$\\
因此，需要使 $\rm M_1$ 栅极电压比漏极电压高 $V_{\rm TH}$，可在漏极串联一元件，使其两端电压为 $V_{\rm TH1}$，
如图 \ref{fig:低压共源共栅电流镜的演进} 所示
\begin{enum}
\item 如图 \ref{fig:低压共源共栅电流镜的演进} 左所示，设计 $R_1$ 使 $R_1 I_{\rm REF} = V_{\rm TH1}$\\
    但由于 PVT 变化使对 $R_1$ 与 $V_{\rm TH}$ 造成的影响不同，很难维持 $R_1 I_{\rm REF} \approx V_{\rm TH}$，
    此外 $V_{\rm b}$ 也很难产生
\item 如图 \ref{fig:低压共源共栅电流镜的演进} 右所示，设计 $M_0$ 及其偏置 $V_{\rm b}$ 使 $V_{\rm DS0} = V_{\rm TH1}$\\
    这就得到了低压共源共栅结构，比一般的共源共栅电流镜更加常用
\end{enum}

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/低压共源共栅电流镜的演进.pdf}
    \caption{低压共源共栅电流镜的演进}
    \label{fig:低压共源共栅电流镜的演进}
\end{figure}

下面讨论低压共源共栅电流镜的可实现条件，为使得两晶体管都处于饱和区
$$
\begin{aligned}
&V_{\rm b} - V_{\rm TH0} \le V_X = V_{\rm GS1} \\
&V_{\rm GS1} - V_{\rm TH1} \le V_A = V_{\rm b} - V_{\rm GS0}
\end{aligned}
\qquad\Longrightarrow\qquad 
V_{\rm GS0} + (V_{\rm GS1}-V_{\rm TH1}) \le V_{\rm b} \le V_{\rm GS1} + V_{\rm TH0}
$$
为使得 $V_{\rm b}$ 存在，需要 $V_{\rm OD0} = V_{\rm GS0} - V_{\rm TH0} < V_{\rm TH1}$，
这需要在一定 $I_{\rm REF}$ 下调整 $\rm M_0$ 的尺寸使 $V_{\rm OD0}$ 足够小

下面讨论低压共源共栅电流镜的偏置电压 $V_{\rm b}$，
为获取最大的输出电压余度需使 $\rm M_1$ 工作在饱和区边缘
$$
V_{\rm DS1} = V_{\rm OD1}
\qquad\Longrightarrow\qquad 
V_{\rm b} = V_{\rm OD1} + V_{\rm GS0} = V_{\rm OD1} + V_{\rm OD0} + V_{\rm TH0}
$$
假定 $\rm M_1$ 与 $\rm M_0$ 尺寸相同，则 $V_{\rm OD1} = V_{\rm OD0}$，则 $V_{\rm b} = 2V_{\rm OD} + V_{\rm TH}$，
如图 \ref{fig:低压共源共栅电流源的偏置} 所示
\begin{enum}
\item 如图 \ref{fig:低压共源共栅电流源的偏置} 左图所示，
      若要$V_{\rm b} = V_{\rm DS1} + V_{\rm DS0} + R_1 I_{\rm REF} = V_{\rm OD} + V_{\rm TH} + V_{\rm OD}$
      则需 $R_1 I_{\rm REF} = V_{\rm OD}$\\
      此法易受PVT变化影响而不精确，但是是自偏置的，电路简单
\item 如图 \ref{fig:低压共源共栅电流源的偏置} 右图所示，若要 $V_{\rm GS4} = V_{\rm b} = 2V_{\rm OD} + V_{\rm TH}$，则需：
$$
\begin{aligned}
    I_{\rm REF} &= \frac{1}{2} \mu_{\rm n} C_{\rm ox} \frac{W_1}{L_1} (V_{\rm GS1} - V_{\rm TH})^2 
                 = \frac{1}{2} \mu_{\rm n} C_{\rm ox} \frac{W_1}{L_1} \cdot V_{\rm OD}^2 \\
    I_{\rm REF} &= \frac{1}{2} \mu_{\rm n} C_{\rm ox} \frac{W_4}{L_4} (V_{\rm GS4} - V_{\rm TH})^2 
                 = \frac{1}{2} \mu_{\rm n} C_{\rm ox} \frac{W_4}{L_4} \cdot 4V_{\rm OD}^2 \\
\end{aligned}
\qquad\Longrightarrow\qquad 
\frac{W_4}{L_4} = \frac{1}{4}\cdot \frac{W_1}{L_1}
$$
\end{enum}

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/低压共源共栅电流源的偏置.pdf}
    \caption{低压共源共栅电流源的偏置}
    \label{fig:低压共源共栅电流源的偏置}
\end{figure}

%\begin{figure}[htpb]
%    \centering
%    \includegraphics[scale=1.1]{figures/低电压共源共栅电流镜.pdf}
%    \caption{低电压共源共栅电流镜}
%    \label{fig:低电压共源共栅电流镜}
%\end{figure}

\subsubsection{改进型基本电流镜}

从对低压共源共栅电流镜的讨论中知，通过迫使 $V_{\rm DS1} \approx V_{\rm DS2}$ 可削弱沟道长度调制效应对电流镜像造成的误差\\
基本电流镜也可借用此思想来改善电流精度，但为调节 $V_{\rm DS1}$ 必须知晓电流输出端所接负载类型

如图 \ref{fig:改进型基本电流镜} 所示，由于电压余度有限，只能用基本电流镜驱动差动对\\
可将差动对等比例缩放后放置在 $\rm M_1$ 漏端，
从而在一定程度上抑制共模电平变化引起 $V_{\rm DS1}$ 与 $V_{\rm DS2}$ 之间的差异

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/改进型基本电流镜.pdf}
    \caption{改进型基本电流镜}
    \label{fig:改进型基本电流镜}
\end{figure}

\subsection{有源电流镜}

有源电流镜是以电流镜作为差动对的负载，也成为五管运算跨导放大器（五管OTA），电路如图 \ref{fig:有源电流镜} 所示\\
五管OTA是差动输入、单端输出的放大器

\subsubsection{大信号分析}

五管OTA放大器的大信号差模输入VTC曲线如图 \ref{fig:有源电流镜} 所示
\begin{enum}
\item 当$V_{\rm in1} - V_{\rm in2}$ 增加时，$\rm M_1$ 电流增加
\item 由于 $\rm M_5$ 电流相对固定，$M_2$ 电流倾向于减小
\item $\rm M_3$ 作为二极管负载电流随 $\rm M_1$ 增加，电流镜效应使得$\rm M_4$ 电流倾向于增加
\item $\rm M_2$ 与 $\rm M_4$ 的电流变化倾向相反，将由沟道长度调制来调和，
      这使 $V_{\rm out}$ 剧烈增加，甚至使$\rm M_4$ 进入线性区
\item $V_{\rm out}$ 随 $V_{\rm in1}$ 同相变化，随 $V_{\rm in2}$ 反相变化
\item $V_{\rm in1}$ 很小时 $\rm M_1, M_3, M_4$ 截止，$\rm M_2, M_5$ 深线性，取得 $V_{\rm out,min} = 0$
\item $V_{\rm in2}$ 很小时 $\rm M_2$ 截止，$\rm M_4$ 深线性，取得 $V_{\rm out,max} = V_{\rm DD}$
\end{enum}

在 $V_{\rm in1} = V_{\rm in2}$ 时电路状态是对称的 $V_{\rm out} = V_F = V_{\rm DD} - |V_{\rm GS3}|$\\
因为F点的二极管连接线上无电流，不妨断开二极管连接并施加 $V_{\rm b} = V_{F}$ 则由对称性可知 $V_{\rm out} = V_F$

\begin{quote}
反证法：若 $V_{\rm out}\ne V_F$，不妨假定 $V_{\rm out} > V_{F}$ 则由于沟道长度调制效应：
\begin{align*}
    & I_{\rm D1} < \frac{I_{\rm SS}}{2} < I_{\rm D2} &
    & I_{\rm D4} < \frac{I_{\rm SS}}{2} < I_{\rm D3} 
\end{align*}
这与 $I_{\rm D1} = I_{\rm D3},\; I_{\rm D2} = I_{\rm D4}$ 相矛盾，$V_{\rm out}<V_F$ 同理，故 $V_{\rm out} = V_{F}$
\end{quote}


\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/有源电流镜.pdf}
    \caption{有源电流镜}
    \label{fig:有源电流镜}
\end{figure}

\subsubsection{小信号分析}

对于图 \ref{fig:有源电流镜差动对的非对称摆幅} 所示有源电流镜差动对电路，在接受全差动输入时P点不是虚地
\begin{enum}
    \item F点输出电阻远小于X点，这影响了增益并使F点信号摆幅也远小于X点\\
          F与X点信号分别经由$r_{\rm o1}, r_{\rm o2}$ 影响P点电压，两者不能完全抵消
    \item 左半侧电路戴维宁等效电阻远小于右侧，两者戴维宁等效电压则近似相同，故P点电压不能维持平衡
\end{enum}

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/有源电流镜差动对的非对称摆幅.pdf}
    \caption{有源电流镜差动对的非对称摆幅}
    \label{fig:有源电流镜差动对的非对称摆幅}
\end{figure}

在不考虑体效应、忽略尾电流源非理想性的情况下进行小信号分析

\paragraph{近似分析}

首先计算等效跨导$G_{\rm m}$，近似认为P点为虚地如图 \ref{fig:有源电流镜差动对小信号跨导近似分析} 所示，则各小信号量为：
$$
\begin{aligned}
    & I_{\rm D1} = I_{\rm D3} = I_{\rm D4} = g_{\rm m1} \frac{V_{\rm in}}{2} \\
    & I_{\rm D2} = - g_{\rm m2}  \frac{V_{\rm in}}{2}
\end{aligned}
\qquad\Longrightarrow\qquad 
G_{\rm m} = \frac{I_{\rm out}}{V_{\rm in}} = \frac{I_{\rm D4} - I_{\rm D2}}{V_{\rm in}} = g_{\rm m1,2}
$$

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/有源电流镜差动对小信号跨导近似分析.pdf}
    \caption{有源电流镜差动对小信号跨导近似分析}
    \label{fig:有源电流镜差动对小信号跨导近似分析}
\end{figure}

下面计算输出电阻 $R_{\rm out}$，注意到 $\rm M_1,M_2$ 等效电阻为：
$$
R_{\rm XY} = r_{\rm o1} + (1+g_{\rm m1}r_{\rm o1}) \cdot \frac{r_{\rm o2}}{1+g_{\rm m2}r_{\rm o2}} = 2r_{\rm o1,2}
$$

\begin{quote}
    在计算$\rm M_1, M_2$也可在两漏端加差动信号，则源端为虚地，易知两者的等效电阻为 $2r_{\rm o}$
\end{quote}

$\rm M_3$ 等效电阻为 $(1/g_{\rm m3}) \parallel r_{\rm o3}$ \\
$\rm M_4$ 是有源器件，假定 $\rm M_3$ 两端电压为 $V_3$ 则 $\rm M_4$ 电流为 $V_3g_{\rm m4} + V_X/r_{\rm o4}$
$$
\begin{aligned}
    I_X &= I_2 + I_3 \left(\frac{1}{g_{\rm m3}} \parallel r_{\rm o3}\right) \cdot g_{\rm m4} + \frac{V_X}{r_{\rm o4}}\\
    I_2 &= I_3 = \frac{V_X}{2r_{\rm o1,2} + (1/g_{\rm m3}) \parallel r_{\rm o3}}
\end{aligned}
$$
在 $2r_{\rm o1,2} \gg (1/g_{\rm m3}) \parallel r_{\rm o3}$ 时： 
$$
\begin{aligned}
    I_3 &\approx \frac{V_X}{2r_{\rm o1,2}} \\
    I_X &\approx I_3 + I_3 + \frac{V_X}{r_{\rm o4}} = \frac{V_X}{r_{\rm o1,2}} + \frac{V_X}{r_{\rm o4}}
\end{aligned}
\qquad\Longrightarrow\qquad 
R_{\rm out} \approx r_{\rm o1,2} \parallel r_{\rm o3,4}
$$

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/有源电流镜差动对输出电阻近似分析.pdf}
    \caption{有源电流镜差动对输出电阻近似分析}
    \label{fig:有源电流镜差动对输出电阻近似分析}
\end{figure}

综上可得五管OTA的小信号增益近似为：$A_v = G_{\rm m} R_{\rm out} = g_{\rm m1,2} \cdot ( r_{\rm o2} \parallel r_{\rm o4} )$

\paragraph{精确分析}
用图 \ref{fig:有源电流镜差动对小信号跨导精确分析1} 或图 \ref{fig:有源电流镜差动对小信号跨导精确分析2} 所示
小信号电路可解得等效跨导为：
$$
\begin{aligned}
&G_{\rm m} = g_{\rm m1} r_{\rm o1} \frac{g_{\rm m4}r_{\rm d}+1}{2r_{\rm o1}+r_{\rm d}}\\
&r_{\rm d} = \frac{1}{g_{\rm m3}} \parallel r_{\rm o3}
\end{aligned}
$$

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/有源电流镜差动对小信号跨导精确分析raw.pdf}
    \caption{有源电流镜差动对小信号跨导精确分析1}
    \label{fig:有源电流镜差动对小信号跨导精确分析1}
\end{figure}

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/有源电流镜差动对小信号跨导精确分析.pdf}
    \caption{有源电流镜差动对小信号跨导精确分析2}
    \label{fig:有源电流镜差动对小信号跨导精确分析2}
\end{figure}

求解 $R_{\rm out}$ 的过程与上一节中近似求解的过程相同
$$
\frac{1}{R_{\rm out}} = \frac{I_X}{V_X} = \frac{1}{2r_{\rm o1}+r_{\rm d}} \cdot (1+g_{\rm m4}r_{\rm d}) + \frac{1}{r_{\rm o4}}
$$

综合以上结果，化简得：
$$
A_v = g_{\rm m1} (r_{\rm o1} \parallel r_{\rm o4}) \cdot \frac{2g_{\rm m4}r_{\rm o4}+1}{2(g_{\rm m4}r_{\rm o4}+1)}
$$
这相当于近似解 $A_v = g_{\rm m1} (r_{\rm o1} \parallel r_{\rm o4})$ 乘以一个略小于1的修正项

\begin{quote}
    上述分析假定尾电流源理想，实际上尾电流源内阻 $R_{\rm SS}$ 对电路增益有很微弱的影响
\end{quote}

\subsubsection{共模特性}

在 $V_{\rm in1} = V_{\rm in2} = V_{\rm in,CM}$ 的情况下总有 $V_{\rm out} = V_{F}$，因此两者间可短接，
如图 \ref{fig:有源电流镜共模特性} 所示
$$
A_{\rm CM} \approx - \frac{2g_{\rm m1,2}}{1+2g_{\rm m1,2}R_{\rm SS}}\cdot 
\left(\frac{1}{2g_{\rm m3,4}} \parallel \frac{r_{\rm o3,4}}{2} \right)
\approx - \frac{g_{\rm m1,2}/g_{\rm m3,4}}{1+2g_{\rm m1,2}R_{\rm SS}}
$$

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/有源电流镜共模特性.pdf}
    \caption{有源电流镜共模特性}
    \label{fig:有源电流镜共模特性}
\end{figure}

共模抑制比 
$$
\mathrm {CMRR} = \left|\frac{A_{\rm DM}}{A_{\rm CM}}\right|
= g_{\rm m1,2} (r_{\rm o1,2} \parallel r_{\rm o3,4}) \cdot
\frac{1+2g_{\rm m1,2}R_{\rm SS}}{g_{\rm m1,2}/g_{\rm m3,4}}
= g_{\rm m3,4} (r_{\rm o1,2} \parallel r_{\rm o3,4}) \cdot (1+2g_{\rm m1,2}R_{\rm SS})
$$


\subsubsection{对比全差动对与有源电流镜}

有源电流镜是单端输出，而全差动电路是差动输出\\
共模输入变化与电源电压变化都会引起有源电流镜 $V_{\rm out}$ 变化\\
对于全差动电路虽然输出共模电平变化，但对称性保证了差模输出维持恒定\\
因此，差模输出的全差动电路的共模抑制能力、电源抑制能力更强 

\subsection{偏置技术}

简单共源放大器的偏置方法演进如图 \ref{fig:简单共源放大器的偏置} 所示
\begin{enum}
\item 偏置电压$V_{\rm B}$ 与输入小信号 $V_{\rm in}$ 直接相连会引发二者冲突 
\item 用 $C_{\rm B}, R_{\rm B}$ 将输入小信号 $V_{\rm in}$ 交流耦合到 $\rm M_1$ 栅极
\item 用二极管接法的MOS器件提供偏置 $V_{\rm B}$，这时 $\rm M_1$ 实质上是电流镜输出管
\item 用晶体管 $\rm M_R$ 代替大电阻 $R_{\rm B}$ 
\item 为 $\rm M_R$ 提供偏置
\end{enum}

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/偏置技术共源放大器.pdf}
    \caption{简单共源放大器的偏置}
    \label{fig:简单共源放大器的偏置}
\end{figure}

以电流源作负载的共源放大器也需提供偏置，如图 \ref{fig:电流源作负载的共源放大器的偏置} 所示
\begin{enum}
    \item 利用 $\rm M_1$ 相同的方法为 $\rm M_2$ 提供偏置，但容易引起电流源 $\rm M_1, M_2$ 冲突，偏置难度大 
    \item 可利用 $V_{\rm out}$ 为 $M_2$ 提供自偏置，在大信号下 $\rm M_2$ 成为二极管器件，在高频小信号下 $\rm M_2$ 栅极短接至交流地
        $$
        A_v = - g_{\rm m1} \cdot ( r_{\rm o1} \parallel r_{\rm o2} \parallel R_{\rm G} )
        $$
    \item 增加电流源 $I_{\rm G}$ 以提高 $\rm M_2$ 栅压，进而增大输出电压摆幅
\end{enum}

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/偏置技术共源放大器电流源负载.pdf}
    \caption{电流源作负载的共源放大器的偏置}
    \label{fig:电流源作负载的共源放大器的偏置}
\end{figure}

共栅放大器需提供两处偏置：输入管栅电压、输入管源到地承载偏置电流的元件，如图 \ref{fig:偏置技术共栅放大器} 所示
\begin{enum}
\item 电阻承载偏置电流，电流镜提供偏置电压，$R_{\rm B} / R_{\rm S} = I_{\rm B} / I_{\rm D}$\\
      困境：若 $R_{\rm S}$ 大则损害输出摆幅，若 $R_{\rm S}$ 小则会使输入小信号衰减从而损害增益
\item 电流源承载电流，可以兼顾输出摆幅与 $R_{\rm S}$ 小信号电阻，但需要为 $\rm M_1$ 提供合适的栅电压 $V_{\rm b}$
\item 低压共源共栅电流镜承载偏置电流并提供偏置电压
\end{enum}

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/偏置技术共栅放大器.pdf}
    \caption{共栅放大器的偏置}
    \label{fig:偏置技术共栅放大器}
\end{figure}

源跟随器可采用电流镜提供偏置电流，如图 \ref{fig:源跟随器的偏置} 所示\\
源跟随器对于 $V_{\rm in}$ 的直流分量不敏感，可以直接与前级相连\\
但若输入信号的直流分量变化过大，也可采用交流耦合方式输入

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/偏置技术源跟随器.pdf}
    \caption{源跟随器的偏置}
    \label{fig:源跟随器的偏置}
\end{figure}

\section{放大器的频率特性}

\subsection{密勒效应}

\subsubsection{密勒定理}

如果图 \ref{fig:密勒定理图示} 中两电路等效，且从$X$ 到 $Y$ 的增益为 $A_v = V_Y/V_X$ 则：
$$
\frac{V_X-V_Y}{Z} = \frac{V_X}{Z_1} = -\frac{V_Y}{Z_2}
\qquad\qquad\Longrightarrow\qquad\qquad
\begin{aligned}
    Z_1 &= \frac{Z}{1-A_v} = \frac{Z}{1-V_Y/V_X} \\
    Z_2 &= \frac{Z}{1-A_v^{-1}} = \frac{Z}{1-V_X/V_Y}
\end{aligned}
$$

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/密勒定理图示.pdf}
    \caption{密勒定理图示}
    \label{fig:密勒定理图示}
\end{figure}

注意，仅在已知图 \ref{fig:密勒定理图示} 中两电路等效时密勒定理才是成立的\\
否则，严格地说应当采用戴维宁等效，$Z_1, Z_2$ 需要串联电压源或并联电流源\\
当戴维宁等效源符合源吸收定理时可转化为阻抗，此时符合密勒定理的形式

\begin{quote}
    也就是说，Y侧电路在X侧看来是无源的阻抗电路时，密勒定理等效出的 $Z_1$ 才是成立的
\end{quote}

图 \ref{fig:密勒定理的不恰当应用} 就是对密勒定理的不恰当应用，其中假定 $I_Y = 0$\\
从X侧看Y侧是无源电路，因此密勒定理等效出的电阻 $R_1+R_2$ 对 X侧是正确的\\
从Y侧看X侧是有源电路，密勒定理等效出的负阻 $-R_2$ 是不正确的\\
Y侧 $R_2 \parallel (-R_2) = \infty$ 仍能满足电流关系 $I_Y=0$，但等效后的电路无法给出 $V_Y$ 的值

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/密勒定理的不恰当应用.pdf}
    \caption{密勒定理的不恰当应用}
    \label{fig:密勒定理的不恰当应用}
\end{figure}

在电路存在主信号通路的情况下，密勒定理通常是有效的，如图 \ref{fig:密勒定理的恰当应用} 所示\\
受控源将 $V_Y$ 钳制为 $-AV_X$，则 $I_Y$ 是任意的\\
对于 X 侧容易看出 $I_X = Z/(1+A)V_X$ 符合密勒定理给出的结果

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/密勒定理的恰当应用.pdf}
    \caption{密勒定理的恰当应用}
    \label{fig:密勒定理的恰当应用}
\end{figure}

严格地说，增益 $A$ 必须在所关心的频率下计算\\
但在很多情况下利用低频小信号增益 $A_v$ 近似程度就足以深入了解电路特性，此方法称为密勒近似

\paragraph{密勒定理的应用1}

密勒定理常用于将跨接电容等效为对地电容，如图 \ref{fig:密勒定理等效电容} 所示
$$
\begin{aligned}
    & Z_1 = \frac{1/sC_{\rm F}}{1-(-A)} = \frac{1}{sC_{\rm in}} \\
    & Z_2 = \frac{1/sC_{\rm F}}{1-(-A)^{-1}} = \frac{1}{sC_{\rm out}}
\end{aligned}
\qquad\Longrightarrow\qquad 
\begin{aligned}
    C_{\rm in} &= (1+A) C_{\rm F} \\
    C_{\rm out}&= (1+A^{-1}) C_{\rm F}
\end{aligned}
$$
当 $V_X$ 变化 $\Delta V_X$ 时 $C_{\rm F}$ 两端电压变化 $(1+A)\Delta V_{X}$，从X点抽取电荷 $C_{\rm F} \cdot (1+A)\Delta V_X$\\
因此从 $X$ 结点来看 $C_{\rm F}$ 增加为原来的 $(1+A)$ 倍

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/密勒定理等效电容.pdf}
    \caption{密勒定理等效电容}
    \label{fig:密勒定理等效电容}
\end{figure}

\begin{quote}
    放大器可将跨接其两端的电容倍增，但这将受限于放大器本身的输出摆幅
\end{quote}

\paragraph{密勒定理的应用2}

先精确计算、再利用密勒近似来得到图 \ref{fig:密勒近似的应用} 所示电路的传递函数

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/密勒近似的应用.pdf}
    \caption{密勒近似的应用}
    \label{fig:密勒近似的应用}
\end{figure}

首先精确计算，注意到仅有一条电流通路
$$
I = \frac{V_{\rm in}-V_X}{R_S} = \frac{V_X-V_{\rm out}}{1/sC_{\rm F}} = \frac{V_{\rm out}-(-AV_X)}{R_{\rm out}}
\qquad\Longrightarrow\qquad 
\frac{V_{\rm out}}{V_{\rm in}}(s) = \frac{R_{\rm out}C_{\rm F}s-A}{\big[(A+1)R_{\rm S}+R_{\rm out}]C_{\rm F}s+1}
$$
可间，此电路有一个极点与一个零点，其频率响应大致如图 \ref{fig:密勒近似的应用}(b) 所示

应用密勒定理将 $C_{\rm F}$ 拆分为输入端 $(A+1)C_{\rm F}$ 与输出端 $(A^{-1}+1)C_{\rm F}$ 两个电容\\
注意，这里采用 $A$ 作为放大倍数是近似的，实际上应当采用 $-V_{\rm out}(s)/V_X(s)$ 作为放大倍率来拆分电容
$$
V_{\rm out} = V_{\rm in} \cdot \frac{\dfrac{1}{(A+1)C_{\rm F}s}}{R_{\rm S}+\dfrac{1}{(A+1)C_{\rm F}s}} \cdot (-A) \cdot 
\frac{\dfrac{1}{(A^{-1}+1)C_{\rm F}s}}{R_{\rm out}+\dfrac{1}{(A^{-1}+1)C_{\rm F}s}}
$$
因此可得：
$$
\frac{V_{\rm out}}{V_{\rm in}}(s)
= \frac{-A}{\big[(1+A)R_{\rm S}C_{\rm F}s+1\big]\big[(1+A^{-1})C_{\rm F}R_{\rm out}s+1\big]}
$$
可见，以上近似过程所得到的结果多出了一个极点，减少了一个零点

实际上，若按照精确的 $-V_{\rm out}(s)/V_{X}(s)$ 放大倍率来使用密勒定理拆分电容，可以得到精确的结果
$$
-A V_X \cdot \frac{\dfrac{1}{(-V_X/V_{\rm out}+1)C_{\rm F}s}}{R_{\rm out}+\dfrac{1}{(-V_X/V_{\rm out}+1)C_{\rm F}s}} = V_{\rm out}
\qquad\Longrightarrow\qquad 
\frac{V_{\rm out}}{V_X} = \frac{-A+R_{\rm out}C_{\rm F}s}{1+R_{\rm out}C_{\rm F}s}
$$
$$
\frac{V_{\rm out}}{V_{\rm in}} = \frac{V_X}{V_{\rm in}} \cdot \frac{V_{\rm out}}{V_{\rm X}}
=\frac{\dfrac{1}{(-V_{\rm out}/V_X+1)C_{\rm F}s}}{R_{\rm S} + \dfrac{1}{(-V_{\rm out}/V_X+1)C_{\rm F}s}} 
\cdot \frac{-A+R_{\rm out}C_{\rm F}s}{1+R_{\rm out}C_{\rm F}s}
= \frac{R_{\rm out}C_{\rm F}s-A}{\big[(A+1)R_{\rm S}+R_{\rm out}]C_{\rm F}s+1}
$$

\paragraph{密勒近似的限制}

密勒近似通过低频增益对浮动阻抗进行分离，并面临以下限制：
\begin{enum}
    \item 可能会消除零点
    \item 可能会增加极点
    \item 用以求解传递函数的密勒等效电路无法用以求解输出阻抗
\end{enum}

\subsubsection{极点与结点的关系}

如图 \ref{fig:级间隔离的级联放大器} 所示电路的传递函数为：
$$
\frac{V_{\rm out}}{V_{\rm in}}(s) 
= \frac{A_1}{1+R_{\rm S}C_{\rm in}s} \cdot \frac{A_2}{1+R_{\rm 1}C_{\rm in}s} \cdot \frac{A_3}{1+R_{\rm 2}C_{\rm in}s}
$$
在此电路中每个结点贡献一个极点 $-\omega_i$，$\omega_i = 1/R_iC_i$，其中 $R_i$ 为此结点的对地电阻，$C_i$ 为此结点的对地电容

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/级间隔离的级联放大器.pdf}
    \caption{级间隔离的级联放大器}
    \label{fig:级间隔离的级联放大器}
\end{figure}

以上叙述通常是不成立的，但“每个结点贡献一个极点”可以直观地估算传递函数\\
若电路的低频小信号增益为 $A_v$ ，电路中共有 $n$ 个结点，则：
\begin{align*}
    H(s) &= A_v \cdot \prod_{i=1}^n \frac{1}{1+s/\omega_i} &
    \omega_i &= \frac{1}{R_iC_{i}}
\end{align*}

对如图 \ref{fig:共栅放大器频率特性} 所示共栅放大器按照“每个结点贡献一个极点”估算传递函数，$\lambda=0$\\
由于 $\rm M_1$ 栅与体端都接小信号地，$\rm M_1$ 的所有寄生电容都为对地电容
\begin{align*}
    \frac{V_{\rm out}(s)}{V_{\rm in}(s)} 
    &= \frac{(g_{\rm m}+g_{\rm mb})R_{\rm D}}{1+(g_{\rm m}+g_{\rm mb})R_{\rm S}} \cdot 
    \frac{1}{(1+s/\omega_{\rm in})(1+s/\omega_{\rm out})} \\
    \omega_{\rm in} &= \left[(C_{\rm GS}+C_{\rm SB}) \left(R_{\rm S} \parallel \frac{1}{g_{\rm m1}+g_{\rm mb1}}\right)\right]^{-1}\\
    \omega_{\rm out}&= \left[(C_{\rm DG}+C_{\rm DB})R_{\rm D}\right]^{-1}
\end{align*}

\begin{quote}
    若 $\lambda\ne 0$ 则 $r_{\rm o}$ 将成为浮动电阻，传递函数将变得比较复杂
\end{quote}

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/共栅放大器频率特性.pdf}
    \caption{共栅放大器频率特性}
    \label{fig:共栅放大器频率特性}
\end{figure}

\subsection{共源级的频率特性}

\subsubsection{密勒近似求解}

共源放大器存在一个浮动电容 $C_{\rm GD}$，考虑采用密勒近似

在 $R_{\rm S}$ 较小时 $V_{X} = V_{\rm in}$ 从而 $V_{\rm out} / V_X = A_v = -g_{\rm m} R_{\rm D}$，
可采用密勒定理如图 \ref{fig:共源级的频率特性} 右图所示
$$
\begin{aligned}
    \omega_{\rm in} &= \frac{1}{R_{\rm S} \big[C_{\rm GS} + (1+g_{\rm m}R_{\rm D})C_{\rm GD}\big]} \\
    \omega_{\rm out}&= \frac{1}{R_{\rm D} \big[C_{\rm DB} + (1-A_v^{-1})C_{\rm GD}\big]} 
    \approx \frac{1}{R_{\rm D}(C_{\rm DB}+C_{\rm GD})}
\end{aligned}
$$

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/共源级的频率特性.pdf}
    \caption{共源级的频率特性}
    \label{fig:共源级的频率特性}
\end{figure}

%在$R_{\rm S}$ 不很小时寄生电容对 X 点的影响不可忽略，$V_{\rm out}/V_X\ne -g_{\rm m} R_{\rm D}$，上述密勒定理的应用不准确\\
在$R_{\rm S}$ 较大时$V_{\rm out}$ 通过寄生电容对 $\rm M_1$ 栅极电压的影响不容忽略，这将通过跨导影响输出端电阻\\
此外 $C_{\rm GS}$ 与 $C_{\rm GD}$ 串联结构将一同作为输出端的对地电容
$$
I_X = \frac{V_X}{\frac{1}{sC_{\rm GD}}+\frac{1}{sC_{\rm GS}}} 
+ \frac{\frac{1}{sC_{\rm GS}}V_X}{\frac{1}{sC_{\rm GD}}+\frac{1}{sC_{\rm GS}}}  \cdot g_{\rm m}
\qquad\Longrightarrow\qquad 
R_X = \frac{C_{\rm GS} + C_{\rm GD}}{C_{\rm GD}} \frac{1}{g_{\rm m}}
$$
$$
\omega_{\rm out} = \left[\left(R_{\rm D} \parallel \frac{C_{\rm GD}+C_{\rm GS}}{C_{\rm GD}}\frac{1}{g_{\rm m1}}\right)\left(\frac{C_{\rm GD}C_{\rm GS}}{C_{\rm GD}+C_{\rm GD}}+C_{\rm DB}\right)\right]^{-1}
$$

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/共源级的频率特性输入源内阻大.pdf}
    \caption{输入源内阻较大时的共源级输出端频率特性}
    \label{fig:输入源内阻较大时的共源级输出端频率特性}
\end{figure}

\begin{quote}
    在 $R_{\rm S}$ 较大时 $\omega_{\rm in}$ 仍然不变
\end{quote}

综上，电路的传递函数为：
$$
\frac{V_{\rm out}}{V_{\rm in}}(s) = -g_{\rm m}R_{\rm D}\cdot \frac{1}{(1+s/\omega_{\rm in})(1+s/\omega_{\rm out})} 
$$

以上密勒近似过程的误差：
\begin{enum}
    \item 忽略了一个零点（密勒近似断开了一个环路）
    \item 采用低频小信号增益，而不是对应频率的增益
\end{enum}

\subsubsection{精确求解}

利用如图 \ref{fig:共源级含寄生电容的小信号模型} 所示小信号模型可得如下精确解：
$$
\frac{V_{\text {out }}}{V_{\text {in }}}
=\frac{\left(s C_{\rm G D}-g_{\rm m}\right) R_{\rm D}}{s^2 \cdot R_{\rm S} R_{\rm D} \cdot \zeta
+s\left[R_{\rm S}\left(1+g_{\rm m} R_{\rm D}\right) C_{\rm GD}+R_{\rm S} C_{\rm GS}+R_{\rm D}
\left(C_{\rm GD}+C_{\rm DB}\right)\right]+1}
$$
其中 $\zeta=C_{\rm G S} C_{\rm G D}+C_{\rm G S} C_{\rm D B}+C_{\rm G D} C_{\rm D B}$

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/共源级的频率特性精确求解.pdf}
    \caption{共源级含寄生电容的小信号模型}
    \label{fig:共源级含寄生电容的小信号模型}
\end{figure}

共源放大器的传递函数包含两个左半平面极点、一个右半平面零点，其幅频特性曲线如图 \ref{fig:共源级的幅频特性曲线示意图} 所示意\\
右半平面零点与左半平面极点对相位的影响是相同的，都使得相频特性朝负相位偏移，这对稳定性有不利影响

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/共源级的幅频特性曲线示意.pdf}
    \caption{共源级的幅频特性曲线示意图}
    \label{fig:共源级的幅频特性曲线示意图}
\end{figure}

零点是由 $C_{\rm GD}$ 提供的前馈通路产生的，如图 \ref{fig:共源级的信号通路与零点计算} 所示\\
在输入零点复频率 $s_{\rm z}$ 的信号时 $V_{\rm out} = 0$，由于输出端开路 $I_{\rm out} = 0$，因此： 
$$
V_1 C_{\rm GD} s_{\rm z} = V_1 g_{\rm m} 
\qquad\Longrightarrow\qquad 
s_{\rm z} = +g_{\rm m}/C_{\rm GD}
$$

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/共源级的信号通路.pdf}
    \qquad
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/共源级零点计算.pdf}
    \caption{共源级的信号通路与零点计算}
    \label{fig:共源级的信号通路与零点计算}
\end{figure}

\subsubsection{输入阻抗}

在频率不太高时采用低频小信号增益来密勒等效，则输入阻抗是纯容性的：
$$
Z_{\rm in} 
=\frac{1}{\big[C_{\rm GS}+(1+g_{\rm m}R_{\rm D})C_{\rm GD}\big]s}
$$
在频率较高时采用如图 \ref{fig:共源级的输入阻抗}(b) 所示电路计算输入阻抗，暂且忽略 $C_{\rm GS}$
$$
V_X = I_X \frac{1}{sC_{\rm GD}} + (I_X-g_{\rm m}V_X)  \cdot \left(R_{\rm D} \parallel \frac{1}{sC_{\rm DB}}\right)
\qquad\Longrightarrow\qquad 
\frac{V_X}{I_X} = \frac{{1+R_{\rm D}(C_{\rm GD}+C_{\rm DB})s}}{sC_{\rm GD}(1+g_{\rm m}R_{\rm D}+sR_{\rm D}C_{\rm DB})}
$$
输入阻抗还需将上式与电容 $C_{\rm GS}$ 并联
$$
Z_{\rm in} = \frac{{1+R_{\rm D}(C_{\rm GD}+C_{\rm DB})s}}{sC_{\rm GD}(1+g_{\rm m}R_{\rm D}+sR_{\rm D}C_{\rm DB})}
\;\bigg|\!\bigg|\; \frac{1}{sC_{\rm GS}}
$$
在 $C_{\rm GD}$ 很大时栅极与输出端之间形成低阻抗通路，则 $R_{\rm D}$ 与 $1/g_{\rm m}$ 均并联在输入端上，
如图 \ref{fig:共源级的输入阻抗}(c) 所示

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/共源级的输入阻抗.pdf}
    \caption{共源级的输入阻抗}
    \label{fig:共源级的输入阻抗}
\end{figure}

\subsection{共源共栅极的频率特性}

共源共栅级的寄生参数如图 \ref{fig:共源共栅级的频率特性} 所示，其中仅有 $C_{\rm GD1}$ 是浮动的，利用$V_X/V_A$的低频增益来做密勒近似\\
$$
\begin{aligned}
&\frac{V_X}{V_A} = -g_{\rm m1} \cdot \frac{1}{g_{\rm m2}+g_{\rm mb2}} \approx 1 \\
&\omega_{\mathrm p,A} 
= \frac{1}{R_{\rm S}\left[C_{\rm GS1}+\left(1+\dfrac{g_{\rm m1}}{g_{\rm m2}+g_{\rm mb2}}\right)C_{\rm GD1}\right]}
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
&\omega_{\mathrm p,X} 
= \left[\frac{1}{g_{\rm m2}+g_{\rm mb2}} \cdot \left(2C_{\rm GD1}+C_{\rm GD2}+C_{\rm DB1}+C_{\rm SB2}\right)\right]^{-1}\\
&\omega_{\mathrm p,Y} = \frac{1}{R_{\rm D} (C_{\rm GD2}+C_{\rm DB2}+C_{\rm L})}
\end{aligned}
$$
三者的相对数值取决于具体电路参数，但一般来说 $\omega_{\mathrm p,X}$ 比其它两者的频率高很多
$$
A_v(s) = -g_{\rm m1} R_{\rm D} \cdot \frac{1}{(1+s/\omega_{\mathrm p,A})(1+s/\omega_{\mathrm p,X})(1+s/\omega_{\mathrm p,Y})}
$$

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/共源共栅级的频率特性.pdf}
    \caption{共源共栅级的频率特性}
    \label{fig:共源共栅级的频率特性}
\end{figure}

%共源共栅级的传递函数中不存在零点，因为其中不存在前馈通道\\
共源共栅级的零点频率很高，通常可以忽略，
相对共源级来说这是一个巨大的优势

\subsection{差动对的频率特性}

差动对的差模频率特性可用图 \ref{fig:差动对的频率特性}(b) 所示半边电路求解，与共源级的频率特性完全相同\\
差动对的CM-DM频率特性可用图 \ref{fig:差动对的频率特性}(c) 所示电路求解，只需低频 $A_{\rm CM-DM}$ 中的电阻替换为阻抗
$$
A_{\rm CM-DM} = -\frac{\Delta g_{\rm m}R_{\rm D}}{1+(g_{\rm m1}+g_{\rm m2})r_{\rm o3}}
\qquad\longrightarrow\qquad 
A_{\rm CM-DM} = -\frac{\Delta g_{\rm m} \cdot \left(R_{\rm D} \parallel \frac{1}{sC_{\rm L}}\right)}
{1 + (g_{\rm m1} + g_{\rm m2}) \cdot \left(r_{\rm o3} \parallel \frac{1}{sC_{\rm P}}\right)}
$$
由于 $\rm M_3$ 尺寸较大使得 $C_{\rm P}$ 较大，导致高频下尾电流源阻抗较小，$A_{\rm CM-DM}$ 劣化，共模抑制比下降

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/差动对的频率特性.pdf}
    \caption{差动对的频率特性}
    \label{fig:差动对的频率特性}
\end{figure}

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/差动对CMRR频率特性曲线.pdf}
    \caption{差动对CMRR频率特性曲线}
    \label{fig:差动对CMRR频率特性曲线}
\end{figure}

对于以电流源为负载的差动对，由于电路的对称性，即使考虑寄生电容G点依然为虚地，如图 \ref{fig:电流源负载差动对频率特性}(a)(b) 所示\\
采用图 \ref{fig:电流源负载差动对频率特性}(c) 所示半边电路法，则与共源放大器情况相似
$$
\omega_{\rm p,out} \approx \frac{1}{(r_{\rm o1}\parallel r_{\rm o3}) \cdot C_{\rm L}}
$$

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/电流源负载差动对频率特性.pdf}
    \caption{电流源负载差动对频率特性}
    \label{fig:电流源负载差动对频率特性}
\end{figure}

\subsection{有源电流镜的频率特性}

有源电流镜的信号通路分为两条，如图 \ref{fig:有源电流镜的频率特性} 所示 
\begin{enum}
\item 慢路径：$\mathrm {M_1}, \mathrm {M_3}, \mathrm {M_4}, V_{\rm out}$，在E点与$V_{\rm out}$ 处形成极点
\item 快路径：$\mathrm {M_1}, \mathrm {M_2}, V_{\rm out}$，在 $V_{\rm out}$ 处形成极点
\end{enum}

电路极点频率分别为：
\begin{align*}
    &\omega_{\rm p,out} \approx \frac{1}{(r_{\rm oN}\parallel r_{\rm oP})C_{\rm L}} &
    &\omega_{\rm p,E} \approx \frac{g_{\rm mP}}{C_{\rm E}}
\end{align*}
则两条路径的传递函数分别为：
\begin{align*}
    &H_{\rm fast}(s) = g_{\rm mN} (r_{\rm oN}\parallel r_{\rm oP}) \cdot \frac{1}{1+s/\omega_{\rm p,out}} \\
    &H_{\rm slow}(s) = g_{\rm mN} (r_{\rm oN}\parallel r_{\rm oP}) 
    \cdot \frac{1}{1+s/\omega_{\rm p,out}} \frac{1}{1+s/\omega_{\rm p,E}}
\end{align*}
系统的总传递函数为：
$$
\frac{V_{\rm out}}{V_{\rm in}}(s) = H_{\rm fast}(s) + H_{\rm slow}(s) 
= g_{\rm mN} (r_{\rm oN}\parallel r_{\rm oP})  \cdot 
\frac{2+s/\omega_{\rm p,E}}{(1+s/\omega_{\rm p,out})(1+s/\omega_{\rm p,E})}
$$
因此，电路在左半平面存在零点 $-2\omega_{\rm p,E} = -2g_{\rm mP}/C_{\rm E}$

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/有源电流镜的频率特性.pdf}
    \caption{有源电流镜的频率特性}
    \label{fig:有源电流镜的频率特性}
\end{figure}

\subsection{增益与带宽的折衷}

对于单极点系统，其低频增益、${\rm -3\; dB}$增益带宽、单位增益带宽的关系可由图 \ref{fig:-3dB增益与单位增益} 示意\\
在 $\omega_{\rm u}$ 固定时， 其$\omega_{\rm p} = \omega_{\rm -3dB}$ 越小则低频增益 $A_0$ 越大，两者间需要折衷

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/-3dB增益与单位增益.pdf}
    \caption{单极点系统的-3dB增益与单位增益带宽}
    \label{fig:-3dB增益与单位增益}
\end{figure}

定义增益带宽积为 $\mathrm{GBW}=A_0\omega_{\rm p}$，若要单位换算为 Hz 需再除以 $2\pi$\\
对于单极点系统，增益带宽积 $\mathrm {GBW} \approx$ 单位增益带宽 $\omega_{\rm u}$
$$
\left|\frac{A_0}{1+\rmj\omega_{\rm u}/\omega_{\rm p}}\right| = \frac{A_0}{\sqrt{1+(\omega_{\rm u}/\omega_{\rm p})^2}} = 1
\qquad\Longrightarrow\qquad 
\omega_{\rm u} = \sqrt{A_0^2-1} \cdot \omega_{\rm p} \approx A_0\omega_{\rm p}
$$
对于多极点系统，只要在 $\omega_{\rm p1}$ 到 GBW 之间无其他零极点就有 $\omega_{\rm u} \approx {\rm GBW} \approx A_0\omega_{\rm p1}$\\
使所有非主导零极点频率大于GBW有如下好处：
\begin{enum}
    \item 将多极点系统近似为单极点系统，便于分析 
    \item 使 $\omega_{\rm u}$ 尽量大 
    \item 利于（闭环）系统稳定
\end{enum}

如果输出节点对应的极点是系统的主导极点，则GBW的值与 $R_{\rm out}$ 无关：
$$
{\rm GBW} = A_0 \omega_{\rm p,out} = G_{\rm m}R_{\rm out} \cdot \frac{1}{R_{\rm out}C_{\rm L}} = \frac{G_{\rm m}}{C_{\rm L}}
$$
因此，以输出极点作主导极点的系统无法通过改变 $R_{\rm out}$ 来增大 GBW

%对于图 \ref{fig:单极点共源放大器} 所示单极点共源放大器，其增益带宽积如下式所示，可见其与 $r_{\rm out}$ 无关
%$$
%\omega_{\rm u} \approx \mathrm {GBW} = A_0 \omega_{\rm p} 
%= g_{\rm m1}(r_{\rm o1}\parallel r_{\rm o2}) \cdot \frac{1}{(r_{\rm o1}\parallel r_{\rm o2})C_{\rm L}}
%= \frac{g_{\rm m1}}{C_{\rm L}}
%$$
%
%\begin{quote}
%    如果输出极点是主导极点，则采用共源共栅结构无法提升增益带宽积，因为此时GBW与 $r_{\rm out}$ 无关
%\end{quote}
%
%\begin{figure}[htpb]
%    \centering
%    \includegraphics[scale=1.1]{figures/单极点共源放大器.pdf}
%    \caption{单极点共源放大器}
%    \label{fig:单极点共源放大器}
%\end{figure}

\section{噪声}

\subsection{噪声的统计特性}

\subsubsection{噪声功率谱密度}

噪声（noise）是不被希望出现的、不可预测的随机信号，但其平均功率通常符合一定的统计规律

噪声的\emph{平均功率}：以 $\rm V^2$ 为单位
$$
P_{\rm av} = \lim_{T\to\infty} \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} V^2(t) \d t
$$

\emph{功率谱密度}（Power Spectrum Density, PSD）记为$S_X(f)$，单位 $\rm V^2/Hz$，表示频率$f$附近单位频宽具有的功率\\
功率谱在一定频段内对频率积分即为该频段所具有的功率，注意对应的负频段也要参与积分\\
对实信号$x(t)$，其功率谱 $S_X(f)$ 是 $f$ 的偶函数，因此：
$$
\begin{aligned}
    P_{f_1, f_2} &= \int_{-f_2}^{-f_1} S_X(f) \d f + \int^{f_2}_{f_1} S_X(f) \d f \\
                 &= 2\int_{f_1}^{f_2}  S_X(f) \d f
\end{aligned}
$$
以上计算适用于双边功率谱，即负频率部分有值的功率谱\\
有时利用实信号$S_X(f)$的对称性，将负频率的功率叠加到对应的正频率上，称为单边功率谱，如图 \ref{fig:双边功率谱与单边功率谱} 所示

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.10]{figures/双边功率谱与单边功率谱.pdf}
    \caption{双边功率谱及其对应的单边功率谱}
    \label{fig:双边功率谱与单边功率谱}
\end{figure}


\begin{quote}
噪声的任意单一频率都只有无限小的功率，在一定频率范围内的功率总和才是有限量
\end{quote}

\emph{白噪声}具有对任意频率都是恒定值的功率谱，即$S_X(f) = \mathrm{const}$\\
白噪声有无限大的功率，在实际中不存在，通常在所关心的频率范围内$S_X(f)=\mathrm{const}$ 就可认其为白噪声

\emph{定理}：将功率谱密度为 $S_X(f)$ 的噪声$x(t)$通过传递函数为 $H(f)$ 的LTI系统得到噪声 $y(t)$，则其功率谱为：
$$
S_Y(f) = S_X(f) \cdot |H(f)|^2
$$

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.10]{figures/传递函数对功率谱的作用.pdf}
    \caption{传递函数对功率谱的作用}
    \label{fig:传递函数对功率谱的作用}
\end{figure}

\subsubsection{噪声幅值分布}

幅值分布是噪声的另一种统计特征，表示每一种$x$值出现的频率\\
幅值分布用概率密度函数（probability density function, PDF）来描述，记为 $P_X(f)$\\
其中 $P_X(x_0) \d x$ 表示出现满足 $x_0 < x < x_0 + \d x$ 的 $x(t)$ 值的概率 

为得到幅值分布特征，以一定频率对噪声采样，对采样值划分为诸多小区间，绘制图 \ref{fig:噪声的幅值分布图} 所示统计直方图

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.10]{figures/噪声的幅值分布图.pdf}
    \caption{噪声的幅值分布图}
    \label{fig:噪声的幅值分布图}
\end{figure}

\begin{quote}
幅值分布无法体现噪声的频率特征，不同频率特征的噪声可能具有相同的PDF
\end{quote}

%对噪声采样，采样值为 $v_0$ 的采样点数量为 $n$，则 $n$ 对 $v_0$ 的出现概率服从高斯分布\\
噪声的概率密度函数通常服从高斯分布（正态分布），
且高斯分布的方差 $\sigma^2$ 即为噪声的平均功率

\subsubsection{噪声叠加}

两噪声信号$x_1(t), x_2(t)$叠加：
$$
\begin{aligned}
P_{\rm av} 
&= \lim_{T\to\infty} \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} \big[x_1(t) + x_2(t)\big]^2 \d t \\
&= P_{\rm av1} + P_{\rm av2} + \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} 2x_{1}(t) x_{2}(t) \d t
\end{aligned}
$$
其中最末项的值取决于两噪声的相关性\\
两完全不相关的噪声相加：$P_{\rm av} = P_{\rm av1} + P_{\rm av2}$\\
两完全相关的噪声相加：功率可能互相增强也可能互相抵消

\subsubsection{信噪比}

信噪比是有效信号功率 $P_{\rm sig}$ 与噪声功率 $P_{\rm noise}$ 之比
$$
\begin{aligned}
\mathrm {SNR} &= \frac{P_{\rm sig}}{P_{\rm noise}}\\
              &= {\color{blue}10} \log \frac{P_{\rm sig}}{P_{\rm noise}} \qquad \textrm{dB}
%&P_{\rm noise} = \int_{-\infty}^{+\infty} S_{\rm noise}(f) \d f
\end{aligned}
$$
注意：对于功率或能量信号，采用dB10定义，而不是dB20

多级放大器中$P_{\rm sig}$ 逐级增大，若每级放大器引入的噪声功率大致相同，则第一级引入的噪声对信噪比损害最大\\
因此第一级通常使用低噪声放大器以提高整体信噪比

若信号是带限的，则应将系统带宽应尽量小，否则将引入更多频率的噪声，使$P_{\rm noise}$增大，信噪比减小

\subsubsection{噪声分析步骤}

\begin{enum}
    \item 识别出各个噪声源，写出每个噪声源的频谱
    \item 依次求出每个噪声源到输出端的传递函数
    \item 利用定理 $S_Y(f)=S_X(f) |H(f)|^2$ 来计算每个噪声源提供的输出噪声谱
    \item 在输出端累加所有的噪声谱，注意区分相关源与非相关源
    \item 输出噪声谱对频率积分，得到输出噪声功率
\end{enum}

\subsection{基本元件噪声}

只有有源器件与电阻有热噪声，电感与电容无噪声\\
以下 $\overline{V_{\rm n}^2}$、$\overline{I_{\rm n}^2}$ 代表不同计量方式的功率谱，单位是 $\rm V^2/Hz$与 $\rm A^2/Hz$

\begin{table}[htpb]
    \centering
    \caption{常见噪声源功率谱（单边谱）}
    \label{tab:常见噪声源功率谱}
    \begin{tabular}{cl}
        \toprule 
        噪声源 & $S(f)$ \\
        \midrule 
        电阻热噪声      & $\overline{V_{\rm n}^2} = 4kTR$                 \\
        MOS沟道热噪声   & $\overline{I_{\rm n}^2} = 4kT\gamma g_{\rm m}$  \\
        MOS栅电阻热噪声 & $\overline{V_{\rm n}^2} = 4kTR_{\rm G}/3$       \\
        MOS闪烁噪声     & $\overline{V_{\rm n}^2} = \dfrac{K}{C_{\rm ox} WL} \dfrac{1}{f}$ \\
        \bottomrule
    \end{tabular}
\end{table}

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.10]{figures/电阻热噪声模型.pdf}
    \caption{电阻热噪声模型}
    \label{fig:电阻热噪声模型}
\end{figure}

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.10]{figures/MOS噪声模型.pdf}
    \caption{MOS噪声模型}
    \label{fig:MOS噪声模型}
\end{figure}


说明：
\begin{enum}
    \item 前三者只在所关心的频段内是白噪声，其功率不是无限大
    \item MOS沟道热噪声表达式中的 $\gamma$ 不是体效应系数，对长沟道MOS有 $\gamma=2/3$，短沟道器件 $\gamma$ 更大
    \item MOS小信号电阻 $r_{\rm o}$ 不产生噪声，因为它不是实体电阻
    \item 对较宽的MOS其源漏寄生电阻热噪声可忽略，但栅电阻热噪声较显著，优化版图设计可减小栅电阻 $R_{\rm G}$
    \item 闪烁噪声也称为 $1/f$ 噪声，其表达式中的 $K$ 是工艺常数，单位 $\rm V^2 \cdot F$
\end{enum}

对闪烁噪声（$1/f$噪声）的进一步说明：
\begin{enum}
    \item 闪烁噪声的功率谱与频率有关，低频信号的闪烁噪声功率较大
    \item 闪烁噪声与 $T, g_{\rm m}$ 无关
    \item PMOS的闪烁噪声小于NMOS
    \item MOSFET闪烁噪声远劣于BJT
    \item 减小闪烁噪声的方式：使用大尺寸晶体管
    \item $f\to0$ 是闪烁噪声功率谱密度很大，但无实际意义，这样低频的噪声变化太慢
\end{enum}

\subsubsection{相关问题}

\paragraph{RC低通滤波器的噪声}

简单的RC滤波器在考虑电阻热噪声后的电路如图 \ref{fig:RC低通滤波器的噪声} 所示

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.10]{figures/RC低通滤波器的噪声.pdf}
    \caption{RC低通滤波器的噪声}
    \label{fig:RC低通滤波器的噪声}
\end{figure}

求解输出端噪声的功率谱密度与平均功率
$$
\overline{V_{\rm out,n}^2} = \overline{V_R^2} \cdot \left| \frac{V_{\rm out}}{V_R}(\rmj\omega) \right|^2
= \frac{4kTR}{4\pi^2R^2C^2f^2+1}
$$
上式即为输出端噪声的单边功率谱 $S_{\rm out}(f)$，对 $f$ 积分即可得到输出端噪声的平均功率\\
注意只能是对 $f$ 积分而不能对 $\omega$ 积分，因为电阻热噪声的功率谱 $4kTR$ 的单位是 $\rm V^2/Hz$
$$
P_{\rm n,out} = \int_0^\infty \frac{4kTR}{4\pi^2R^2C^2f^2+1} \d f 
= \frac{2kT}{\pi C} \arctan u \Big|_{u=0}^{u=\infty} = \frac{kT}{C}
$$
上式的结果的单位是 $\rm V^2$

虽然噪声是由电阻引起的，但输出端噪声的平均功率与$R$的大小无关，只取决于温度和电容值\\
当 $R$ 增加时，单位频宽内的噪声功率增加，但电路总带宽等比例缩小，使输出端噪声功率不变\\
要在设计阶段减小输出端噪声，只能增大电容$C$的值，这给电路设计带来困难

\paragraph{单MOS最大噪声电压}

只考虑沟道热噪声时，单个MOS在以理想电流源为负载时输出最大噪声电压，如图 \ref{fig:单MOS输出最大噪声电压} 所示
$$
\overline{V_{\rm n,out}^2} = 4kT\gamma g_{\rm m} \cdot r_{\rm o}^2
$$
观察可见：
\begin{enum}
\item $g_{\rm m}$ 越大，输出噪声功率越大
\item 输出噪声与输入端位置无关，无论是共源还是共栅都适用
\item 输出电阻 $r_{\rm o}$ 不是实体电阻，不产生噪声
\end{enum}

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.10]{figures/单MOS输出最大噪声电压.pdf}
    \caption{单MOS输出最大噪声电压}
    \label{fig:单MOS输出最大噪声电压}
\end{figure}


\paragraph{拐角频率}

拐角频率：闪烁噪声与沟道热噪声大致相等时的频率，可大概估计低频噪声的水平
$$
4kTg_{\rm m} \gamma \approx \frac{K}{C_{\rm ox}WL} \frac{1}{f_{\rm C}} \cdot g_{\rm m}^2
\qquad\Longrightarrow\qquad 
f_{\rm C} = \frac{K}{C_{\rm ox}WL} \frac{g_{\rm m}}{4\gamma kT}
$$
由于 $g_{\rm m} \propto W$，确定 $L$ 后闪烁噪声大小是相对固定的

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.10]{figures/拐角频率.pdf}
    \caption{拐角频率}
    \label{fig:拐角频率}
\end{figure}

\paragraph{辅助定理}

对于图 \ref{fig:噪声计算辅助定理} 所示两电路，若均由有限阻抗驱动且工作于低频，
则$\overline{V_{\rm n}^2} = \overline{I_{\rm n}^2} / g_{\rm m}^2$ 时两电路等效\\
即：并联与MOS源漏两端的噪声电流源可以等效为串联在栅极上的噪声电压源

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.10]{figures/噪声计算辅助定理.pdf}
    \caption{噪声计算辅助定理}
    \label{fig:噪声计算辅助定理}
\end{figure}


\subsection{电路中噪声的表示}

要衡量电路的噪声性能，可以在置输入为 $0$ 是测量输出端噪声 $\overline{V_{\rm out,n}^2}$\\
两放大器输入相同，$\overline{V_{\rm out,n}^2}$ 相同，但放大系数可能不同，则放大器的信噪比不同\\
为便于比较不同电路的信噪比，可以将输出端噪声等效到输入端
$$
\overline{V_{\rm n,in}^2} = \overline{V_{\rm out,n}^2} / A_v^2
$$

\begin{quote}
输入参考噪声只是数学上的等效，并不能在实际电路的输入端测量到
\end{quote}

上述对输入参考噪声电压的等效是在信号源无内阻的情况下进行的\\
当输入端接有限内阻的信号源时，此时 $R_1$ 与 $C_{\rm in}$ 分压，等效条件被破坏造成结果错误，
如图 \ref{fig:输入参考噪声等效条件被破坏} 所示\\
在已知 $R_1$ 时可以将其纳入等效过程中，从而保证结果正确，但这使 $\overline{V_{\rm out,n}^2}$ 与 $R_1$ 有关，给模型的应用带来不便 

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.10]{figures/输入参考噪声等效条件被破坏.pdf}
    \caption{输入参考噪声等效条件被破坏}
    \label{fig:输入参考噪声等效条件被破坏}
\end{figure}

可以在输入端口额外并联输入参考噪声电流 $\overline{I_{\rm in,n}^2}$ 来解决这个问题，如图 \ref{fig:输入参考噪声的正确等效方法} 所示\\
可以证明：$\overline{V_{\rm in,n}^2}$ 与 $\overline{I_{\rm in,n}^2}$ 是必须的，且在输入端口接任意内阻的信号源时均可正确表现电路噪声

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.10]{figures/输入参考噪声的正确等效方法.pdf}
    \caption{输入参考噪声的正确等效方法}
    \label{fig:输入参考噪声的正确等效方法}
\end{figure}

可以利用两种极端情况分别计算 $\overline{V_{\rm in,n}^2}$ 与 $\overline{I_{\rm in,n}^2}$ 的值，
如图 \ref{fig:输入参考噪声的求解} 所示，示例如图 \ref{fig:输入参考噪声的求解示例} 所示\\
输入端短路时仅 $\overline{V_{\rm in,n}^2}$ 有效，输入端断路时仅 $\overline{I_{\rm in,n}^2}$ 有效\\
可以看到，$\overline{V_{\rm in,n}^2} = \overline{I_{\rm in,n}^2} \cdot Z_{\rm in}^2$

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.10]{figures/输入参考噪声的求解.pdf}
    \caption{输入参考噪声的求解}
    \label{fig:输入参考噪声的求解}
\end{figure}


\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.10]{figures/输入参考噪声的求解示例.pdf}
    \caption{输入参考噪声的求解示例}
    \label{fig:输入参考噪声的求解示例}
\end{figure}

下面考虑 $\overline{V_{\rm in,n}^2}$ 与 $\overline{I_{\rm in,n}^2}$ 的作用，如图 \ref{fig:输入源内阻对输入参考噪声的影响} 所示\\
注意 $\overline{V_{\rm in,n}^2}$ 与 $\overline{I_{\rm in,n}^2}$ 是相关噪声源，不能直接功率相加，
只能将 $V_{\rm in,n}$ 与 $I_{\rm in,n}$ 对电路的影响线性叠加
$$
V_{\mathrm n,X} 
= \frac{Z_{\rm in}}{Z_{\rm in} + Z_{\rm S}} V_{\rm n, in} 
+ \frac{{Z_{\rm S}{\color{blue}Z_{\rm in}}}}{Z_{\rm in} + Z_{\rm S}} {\color{blue}I_{\rm n,in}}
= \frac{Z_{\rm in}}{Z_{\rm in} + Z_{\rm S}} V_{\rm n, in} 
+ \frac{Z_{\rm S}}{Z_{\rm in} + Z_{\rm S}} {\color{blue}V_{\rm n,in}}
= V_{\rm n,in}
$$
因此，不论信号源内阻 $Z_{\rm S}$ 为何值，输入端口的噪声电压始终为 $V_{\rm n,in}$，保证了输入参考噪声模型的正确性

在 $|Z_{\rm S}|^2 \ll \overline{V_{\rm n,in}^2} / \overline{I_{\rm n,in}^2}$ 时 
$\overline{I_{\rm n,in}^2}$ 的作用（即上式第二项）较小，
这时 $\overline{I_{\rm n,in}^2}$ 可以省略

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.10]{figures/输入源内阻对输入参考噪声的影响.pdf}
    \caption{输入源内阻对输入参考噪声的影响}
    \label{fig:输入源内阻对输入参考噪声的影响}
\end{figure}

\subsection{单级放大器的噪声}

\subsubsection{共源放大器}

不同负载的共源放大器的噪声计算如图 \ref{fig:共源放大器的噪声} 所示\\
共源放大器的输入阻抗很大，信号源内阻则相对较小，输入参考噪声中 $\overline{I_{\rm in,n}^2}$ 通常省略

电阻负载的共源放大器 
$$
\overline{V_{\rm n,in}^2} 
= \left(4kT\gamma g_{\rm m} + \frac{4kT}{R_{\rm D}} \right) \frac{1}{g_{\rm m}^2} + \frac{K}{C_{\rm ox}WL} \frac{1}{f}
$$
电流源负载的共源放大器（只考虑沟道热噪声），
在 $g_{\rm m1}$ 尽量大而 $g_{\rm m2}$ 尽量小时噪声最小
$$
\overline{V_{\rm in,n}^2} 
= \left(4kT\gamma g_{\rm m1} + 4kT\gamma g_{\rm m2} \right) \frac{1}{g_{\rm m1}^2}
= 4kT\gamma \left(\frac{1}{g_{\rm m1}} + \frac{g_{\rm m2}}{g_{\rm m1}^2} \right)
$$
互补共源级（只考虑沟道热噪声），可见其噪声较小
$$
\overline{V_{\rm in,n}^2} 
= (4kT\gamma g_{\rm m1} + 4kT\gamma g_{\rm m2}) \frac{1}{(g_{\rm m1} + g_{\rm m2})^2}
= \frac{4kT\gamma}{g_{\rm m1} + g_{\rm m2}}
$$

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.10]{figures/噪声之共源放大器.pdf}
    \caption{共源放大器的噪声}
    \label{fig:共源放大器的噪声}
\end{figure}

\subsubsection{共栅放大器}

共栅放大器的输入电阻小，信号源内阻相对不小，必须同时采用 $\overline{V_{\rm in,n}^2}$ 与 $\overline{I_{\rm in,n}^2}$

首先在输入端短路的情况下计算 $\overline{V_{\rm in,n}^2}$ 的值 
$$
\left(\frac{4kT}{R_{\rm D}} + 4kT\gamma g_{\rm m}\right) R_{\rm D}^2
= \overline{V_{\rm in,n}^2} (g_{\rm m} + g_{\rm mb})^2 R_{\rm D}^2
\qquad\Longrightarrow\qquad 
\overline{V_{\rm in,n}^2} = \frac{4kT\gamma g_{\rm m} + 4kT/R_{\rm D}}{(g_{\rm m} + g_{\rm mb})^2}
$$
其次在输入端开路的情况下计算 $\overline{I_{\rm in,n}^2}$ 的值\\
由于输入端无电流，$\overline{I_{\rm n1}^2}$ 全部被 MOS 吸收，对 $\overline{V_{\rm out,n}^2}$ 无贡献
$$
4kTR_{\rm D} = \overline{I_{\rm in,n}^2} R_{\rm D}^2
\qquad\Longrightarrow\qquad 
\overline{I_{\rm in,n}^2} = \frac{4kT}{R_{\rm D}}
$$

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.10]{figures/噪声之共栅放大器}
    \caption{共栅放大器的噪声}
    \label{fig:共栅放大器的噪声}
\end{figure}

\subsubsection{共源共栅放大器}

共源共栅放大器的输入电阻大，信号源内阻相对较小，$\overline{I_{\rm in,n}^2}$ 可省略\\
由于电流被输入管 $\rm M_1$ 钳制，共源共栅管 $\rm M_2$ 上的噪声对输出端无影响\\
输入管与负载的噪声对输出噪声的贡献与共源放大器一致
$$
\overline{V_{\rm in,n}^2} = \left( \frac{4kT}{R_{\rm D}} + 4kT\gamma g_{\rm m1}\right) \frac{1}{g_{\rm m1}^2}
$$

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.10]{figures/噪声之共源共栅放大器.pdf}
    \caption{共源共栅放大器的噪声}
    \label{fig:共源共栅放大器的噪声}
\end{figure}

\subsection{差动对的噪声}

基本差动对电路的输入电阻很大，可以省略 $\overline{I_{\rm in,n}^2}$\\
由于各个噪声源是非相关的，P点不是虚地，不能直接借助半边电路计算噪声

首先只考虑 $\overline{I_{\rm n1}^2}$，忽略沟道长度调制效应，则 $\rm M_{1,2}$ 漏极的不同被屏蔽\\
从 $\rm M_{1,2}$ 源极看进去两侧电路对称，均流过 $I_{\rm n1}/2$ 的电流\\
则 $R_{\rm D1}, R_{\rm D_2}$ 上的电流大小均为 $I_{\rm n1}/2$，但方向相反
$$
\overline{V_{\rm out,n1}^2} = \left(\frac{I_{\rm n1}}{2}R_{\rm D1} + \frac{I_{\rm n1}}{2}R_{\rm D2}\right)^2
= \overline{I_{\rm n1}^2} R_{\rm D}^2
$$
同理可得 $\overline{I_{\rm n2}^2}$ 的影响，以及两电阻热噪声的影响，总输出噪声为：
$$
\overline{V_{\rm out,n}^2} 
= (\overline{I_{\rm n1}^2} + \overline{I_{\rm n1}^2})R_{\rm D}^2 + 4kTR_{\rm D} \cdot 2
= 8kT(\gamma g_{\rm m}R_{\rm D}^2 + R_{\rm D})
$$
差动增益为 $g_{\rm m}R_{\rm D}$，因此输入参考噪声为：
$$
\overline{V_{\rm in,n}^2} = 8kT \left(\frac{\gamma}{g_{\rm m}} + \frac{1}{g_{\rm m}^2R_{\rm D}} \right)
$$
再加上闪烁噪声：
$$
\overline{V_{\rm in,n}^2} 
= 8kT \left(\frac{\gamma}{g_{\rm m}} + \frac{1}{g_{\rm m}^2R_{\rm D}} \right) + \frac{2K}{C_{\rm ox}WL} \frac{1}{f}
$$

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.10]{figures/噪声之基本差动对.pdf}
    \caption{基本差动对的噪声}
    \label{fig:基本差动对的噪声}
\end{figure}

实际上，全差分电路中输入参考噪声等于其半边等效电路的输入参考噪声的2倍\\
因为全差分电路的信号通路中包含了2倍的器件数目，使噪声功率翻倍

尾电流源的噪声仅在差动输入不为0时对输出端有影响，但通常可以忽略

\subsection{其他问题}

\subsubsection{噪声与其他性能的折中}

通常增大器件尺寸就可以减小输入参考噪声，例如对于共源放大器将 $W$ 增大为 $2W$ 则：
$$
\begin{aligned}
\overline{V_{\rm n1}^2} 
&= 4kT\left( \frac{\gamma}{g_{\rm m}} + \frac{1}{g_{\rm m}^2\cdot R_{\rm D}}\right) + \frac{K}{C_{\rm ox}WL}\frac{1}{f} \\
\overline{V_{\rm n2}^2} 
&= 4kT\left( \frac{\gamma}{2g_{\rm m}} + \frac{1}{4g_{\rm m}^2\cdot R_{\rm D}/2}\right) + \frac{K}{C_{\rm ox}2WL}\frac{1}{f}
\end{aligned}
$$
因此，$W$ 加倍使得输入参考噪声减半，代价是电路面积与功耗加倍

\subsubsection{噪声带宽}

对于多极点电路，其输出的噪声谱如图 \ref{fig:噪声带宽} 左图所示，总输出噪声的功率必须积分得到\\
为方便起见定义噪声带宽 $B_{\rm n}$ 使噪声总功率为 $\overline{V_{\rm 0}^2} B_{\rm n}$
$$
\int_0^\infty \overline{V_{\rm n,out}^2} \d f 
= \overline{V_{\rm 0}^2} B_{\rm n}
$$
其中 $\overline{V_{\rm 0}^2}$ 是噪声功率谱的低频值

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.10]{figures/噪声带宽.pdf}
    \caption{噪声带宽}
    \label{fig:噪声带宽}
\end{figure}

可以证明，单极点低通系统的噪声带宽为：
$$
B_{\rm n} = \frac{\pi}{2} f_{\rm -3dB}
$$


\section{反馈}

\begin{quote}
    本章中部分电路图未绘制出直流偏置，应理解为小信号电路
\end{quote}

\subsection{负反馈电路系统概述}

负反馈系统的基本结构如图 \ref{fig:负反馈系统基本结构} 所示
\begin{enum}
    \item 前馈网络 $H(s)$：也称开环传递函数，常是高增益放大器
    \item 反馈网络 $G(s)$：其值常是与频率无关的常数 $\beta$，称为反馈系数
    \item 闭环传递函数 $Y(s)/X(S)$
    \item 环路增益 $H(s)\cdot G(s)$
\end{enum}


\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/负反馈系统基本结构.pdf}
    \caption{负反馈系统基本结构}
    \label{fig:负反馈系统基本结构}
\end{figure}

\subsubsection{负反馈电路系统特性}

\paragraph{对前向增益的灵敏度降低}

负反馈系统的闭环增益为：
$$
\frac{Y(s)}{X(s)} = \frac{H(s)}{1+\beta H(s)} = \frac{1}{\beta} \cdot \frac{\beta H(s)}{1+\beta H(s)}
$$
只要环路增益 $\beta H(s) \gg 1$则系统对复频率 $s$ 的增益约为 $1/\beta$，与 $H(s)$ 无关\\
则 $H(s)$ 因以下各种原因变化时，系统的增益几乎是稳定不变的
\begin{enum}
    \item $H(s)$ 随PVT、后级负载大小的变化对系统增益影响小
    \item $H(s)$ 随复频率 $s$ 的变化对系统增益影响小：系统带宽改善
    \item $H(s)$ 随直流偏置点的变化对系统增益影响小：系统线性度改善
\end{enum}

%用低频前向增益 $A$ 代替 $G(s)$，在 $A\beta$ 极大时：
%$$
%\frac{Y}{X} = \frac{1}{\beta} \cdot \frac{\beta A}{1+\beta A} \approx \frac{1}{\beta}
%$$
%这表明只要 $\beta A$ 足够大，即使 $A$ 受PVT变化而波动，闭环增益也不会有显著变化

环路增益 $\beta H(s)$ 的计算方法如图 \ref{fig:环路增益计算} 所示\\
先断开环路，顺环路方向加单位测试信号源，在另一端得到经环路增益后的信号（取相反数）\\
例如图 \ref{fig:环路增益计算} 右侧的简单反馈电路的环路增益为：
$$
\beta A = -\frac{V_{\rm F}}{V_{\rm t}} = -\frac{C_2}{C_1+C_2} \cdot (-g_{\rm m1}r_{\rm o1})
$$

\begin{quote}
    这里忽略了$C_2$ 从输出端抽取的电流，否则共源放大器的低频增益不应为 $-g_{\rm m}r_{\rm o1}$
\end{quote}

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/环路增益计算.pdf}
    \caption{环路增益计算}
    \label{fig:环路增益计算}
\end{figure}

\paragraph{带宽变化}

由于负反馈使闭环增益对 $H(s)$ 不敏感，可以预期系统增益维持稳定的频带宽度增大

对于一个单极点的前向放大器 $H(s) = A_0 / (1+s/\omega_0)$，其组成的闭环系统的传输函数为：
$$
\frac{Y(s)}{X(s)} = \frac{ \dfrac{A_0}{1+s/\omega_0} }{ 1 + \beta \dfrac{A_0}{1+s/\omega_0} }
= \frac{ \dfrac{A_0}{1+\beta A_0} }{ 1 + \dfrac{s}{(1+\beta A_0)\omega_0} }
$$
上式表明：
\begin{enum}
    \item 负反馈使单极点系统的增益降低一定的倍数
    \item 负反馈使单极点系统的带宽提高同样的倍数
    \item 负反馈无法改变单极点系统的单位增益带宽（增益带宽积）
\end{enum}

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/负反馈系统的带宽变化.pdf}
    \caption{负反馈系统的带宽变化（单极点系统）}
    \label{fig:负反馈系统的带宽变化}
\end{figure}

系统带宽提高可带来更快的响应速度（阶跃响应），如图 \ref{fig:高带宽带来快速响应} 所示\\
用两个低增益高带宽的的放大器级联可获得更好的响应速度，其代价是两倍的成本与功耗

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/高带宽带来快速响应.pdf}
    \caption{高带宽带来快速响应}
    \label{fig:高带宽带来快速响应}
\end{figure}

\begin{quote}
    可以证明：单极点系统阶跃响应的时间常数 $\tau = 1/\omega_{\rm 3dB}$
\end{quote}

\paragraph{非线性度减小}
系统的线性度是指电压传输特性曲线是直线，即其斜率恒定，而此斜率即代表小信号增益\\
由于负反馈抑制了直流偏置点对增益的影响，可预期负反馈会改善系统的VTC曲线线性度

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/负反馈改善线性度.pdf}
    \caption{负反馈改善系统线性度}
    \label{fig:负反馈改善系统线性度}
\end{figure}

假定前向放大器满足 $A_2 = A_1 - \Delta A$，则：
$$
\begin{aligned}
    \left(\frac{A_2}{A_1}\right)_{\text{open loop}} &= \frac{A_1-\Delta A}{A_1} = 1 - \frac{\Delta A}{A_1} \\
    \left(\frac{A_2}{A_1}\right)_{\text{close loop}} 
                                                    &= \frac{ \dfrac{A_2}{1+\beta A_2} }{ \dfrac{A_1}{1+\beta A_1} }
                                                     = 1 - \frac{\Delta A}{A_1} \frac{1}{1+\beta A_2}
\end{aligned}
$$
可见：只要 $1+\beta A_2$ 足够大则闭环系统 $A_2/A_1\approx 1$

\paragraph{输入输出阻抗变化}

反馈将改变输入输出阻抗的大小，具体是增大或减小与电路结构有关

\subsubsection{放大器种类}

四种规范结构的放大器为如图 \ref{fig:四种放大器} 所示
\begin{enum}
    \item 电压放大器：输入电压，输出电压；高输入阻抗，低输出阻抗
    \item 跨阻放大器：输入电流，输出电压；低输入阻抗，低输出阻抗
    \item 跨导放大器：输入电压，输出电流；高输入阻抗，高输出阻抗
    \item 电流放大器：输入电流，输出电流；低输入阻抗，高输出阻抗
\end{enum}

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/4种放大器.pdf}
    \caption{四种放大器及其理想电路}
    \label{fig:四种放大器}
\end{figure}

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/符合典型结构的实际放大器.pdf}
    \caption{符合四种规范结构的实际放大器}
    \label{fig:符合四种规范结构的实际放大器}
\end{figure}

\subsection{反馈结构}

反馈网络可以检测系统输出端的电压/电流，反馈给系统输入端一个电压/电流信号，得到四种典型反馈结构
\begin{enum}
    \item 电压-电压反馈
    \item 电压-电流反馈
    \item 电流-电压反馈
    \item 电流-电流反馈
\end{enum}

部分检测与反馈电路结构举例如图 \ref{fig:实际检测与反馈结构举例} 所示

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/实际检测与反馈结构举例.pdf}
    \caption{实际检测与反馈结构举例}
    \label{fig:实际检测与反馈结构举例}
\end{figure}

\subsubsection{电压-电压反馈}
典型电压-电压反馈放大器的结构如图 \ref{fig:电压电压反馈结构} 所示，反馈网络与输出并联、与输出串联\\
容易得到其低频增益为
$$
\frac{V_{\rm out}}{V_{\rm in}} = \frac{A_0}{1+\beta A_0}
$$

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/电压电压反馈.pdf}
    \caption{电压电压反馈结构}
    \label{fig:电压电压反馈结构}
\end{figure}

电压-电压反馈结构将减小输出电阻、增大输入电阻，定性来看：
\begin{enum}
\item 负载 $R_{\rm L}$ 会改变前向增益 $H(s)$，但反馈抑制了 $H(s)$ 对 $V_{\rm out}$ 的影响，
      表现为 $R_{\rm out}$ 几乎不与 $R_{\rm L}$ 分压，等效于 $R_{\rm out}$ 较小
\item 当 $V_{\rm in}$ 增大时$V_{\rm out}$ 增大，反馈电压 $V_{\rm F}$增大，部分抵消了$V_{\rm in}$ 的增大，
      使得 $I_{\rm in}$ 增幅较小，表现为输出电阻较大
\end{enum}

定量计算闭环系统的输出电阻，假定前向放大器的输出电阻为 $R_{\rm out}$，如图 \ref{fig:电压电压反馈结构的输出电阻计算} 右侧所示 
$$
I_X = \frac{V_X-V_M}{R_{\rm out}} = \frac{V_X - (-V_X\beta A_0)}{R_{\rm out}} = \frac{1+\beta A_0}{R_{\rm out}}\cdot V_X
\qquad\Longrightarrow\qquad 
R_{\rm out,cl} = \frac{R_{\rm out}}{1+\beta A_0}
$$

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/电压电压反馈结构的输出电阻计算.pdf}
    \caption{电压电压反馈结构的输出电阻计算}
    \label{fig:电压电压反馈结构的输出电阻计算}
\end{figure}

定量计算闭环系统的输入电阻，假定前向放大器的输入电阻为 $R_{\rm in}$，如图 \ref{fig:电压电压反馈结构的输入电阻计算} 右侧所示
$$
V_{\rm e} = \frac{1}{1+A_0\beta} V_X 
\qquad\Longrightarrow\qquad 
R_{\rm in,cl} = \frac{V_X}{I_X} = \frac{V_X}{V_{\rm e} / R_{\rm in}} = (1+A_0\beta) R_{\rm in}
$$

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/电压电压反馈结构的输入电阻计算.pdf}
    \caption{电压电压反馈结构的输入电阻计算}
    \label{fig:电压电压反馈结构的输入电阻计算}
\end{figure}

\subsubsection{电流-电压反馈}

典型电流-电压反馈放大器结构如图 \ref{fig:电流电压反馈} 所示，其传输函数为：
$$
\frac{I_{\rm out}}{V_{\rm in}} = \frac{G_{\rm m}}{1+R_{\rm F}G_{\rm m}}
$$

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/电流电压反馈.pdf}
    \caption{电流电压反馈}
    \label{fig:电流电压反馈}
\end{figure}

从信号流图上容易看出电流电压反馈系统的环路增益是 $G_{\rm m}R_{\rm F}$\\
若要在电路中求解之需要利用图 \ref{fig:电流电压反馈的环路增益计算} 所示办法，注意断开环路后要保证电流路径畅通

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/电流电压反馈的环路增益计算.pdf}
    \caption{电流电压反馈的环路增益计算}
    \label{fig:电流电压反馈的环路增益计算}
\end{figure}

电流电压反馈会增大输出电阻，假定前馈网络的输出电阻为 $R_{\rm out}$，如图 \ref{fig:电流电压反馈的输入输出电阻计算} 所示 
$$
V_X = \big[I_X - (-I_XR_{\rm F}G_{\rm m})\big]R_{\rm out}
\qquad\Longrightarrow\qquad 
R_{\rm out,cl} = \frac{V_X}{I_X} = (1+R_{\rm F}G_{\rm m})R_{\rm out}
$$
与电压电压反馈的情况类似，电流电压反馈会增大输入电阻
$$
R_{\rm in,cl} = (1+R_{\rm F}G_{\rm m}) R_{\rm in}
$$

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/电流电压反馈的输出阻抗计算.pdf}
    \qquad \quad
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/电流电压反馈的输入电阻计算.pdf}
    \caption{电流电压反馈的输入输出电阻计算}
    \label{fig:电流电压反馈的输入输出电阻计算}
\end{figure}

\subsection{反馈对噪声的影响}

反馈不能改善电路的噪声性能\\
只考虑前馈网络的输入参考噪声 $V_{\rm n}$ 则图 \ref{fig:两种相同噪声的反馈系统} 所示两电路是等价的
$$
(V_{\rm in} - \beta V_{\rm out} + V_{\rm n}) A_1 = V_{\rm out}
\qquad\Longrightarrow\qquad 
V_{\rm out} = (V_{\rm in}+V_{\rm n}) \frac{A_1}{1+\beta A_1}
$$

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/反馈与噪声.pdf}
    \caption{两种相同噪声的反馈系统}
    \label{fig:两种相同噪声的反馈系统}
\end{figure}

\subsection{反馈分析面临的困难}

反馈分析面临的五种困难
\begin{enum}
    \item 负载效应：实际电路中反馈网络是前馈网络的负载，将对前馈网络的增益造成影响，这使断开环路难以实现
    \item 一些电路组件无法明确区分为前馈网络或反馈网络
    \item 一些电路不易被分类到四种规范结构中
    \item 实际的反馈电路常常是双向的信号通路
    \item 一些电路有多个反馈环路，难以确定环路增益
\end{enum}

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/反馈分析面临的五种困难.pdf}
    \caption{反馈分析面临的五种困难}
    \label{fig:反馈分析面临的五种困难}
\end{figure}

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/反馈分析困难的解决方法.pdf}
    \caption{反馈分析困难的解决方法}
    \label{fig:反馈分析困难的解决方法}
\end{figure}

\section{运算放大器}

\subsection{概述}

运算放大器可粗略定义为高增益的差动放大器，其增益常在 $10^4\sim 10^5$ 量级\\
运放的增益、输入输出阻抗、速度、输出摆幅、功耗等性能指标通常需要折衷

CMOS技术通常难以实现小 $R_{\rm out}$ 的运算放大器（Opamp），而更容易实现大 $R_{\rm out}$ 的运算跨导放大器（OTA）\\
根据戴维宁等效，以上两者只有 $R_{\rm out}$ 大小的区别\\
由于CMOS放大器的后级通常是MOS的栅极，具有很大的低频电阻，OTA也可以用作电压放大器\\
要用CMOS工艺实现真正的Opamp必须添加额外的buffer电路，例如源跟随器

\subsubsection{运放的性能指标}

\paragraph{增益}
运放的开环增益决定了反馈系统的精度，高增益可以抑制非线性与PVT波动等非理想因素\\
提高增益通常要牺牲速度与输出电压摆幅等其它性能指标，因此需要利用系统精度要求确定最小增益

假定要实现10倍增益，精度为 $1\%$，则确定最小开环增益为：
$$
\frac{V_{\rm out}}{V_{\rm in}} = \frac{1}{\beta} \frac{\beta A}{1+\beta A} 
\approx \frac{1}{\beta} \left(1-\frac{1}{\beta A} \right) \approx \frac{1}{\beta} = 10
\qquad\Longrightarrow\qquad 
\frac{1}{\beta A} < 1\%
\qquad\Longrightarrow\qquad 
A > 1000
$$

此外，在一些应用场合，决定最小开环增益的是线性性能要求，而非放大精度

\paragraph{小信号带宽}
小信号带宽通常定义为单位增益频率 $f_{\rm u}$，有时为更好地预测闭环频率特性也可定义为3 dB带宽 $f_{\rm 3dB}$\\
小信号带宽不仅反应系统小信号增益与信号频率的关系，也反应系统对大信号的响应速度（阶跃响应）

单极点系统的阶跃响应时间常数 $\tau = 1/\omega_{\rm 3dB}$，因此可以利用阶跃响应速度要求来确定小信号带宽\\
闭环系统的阶跃响应速度更多取决于 $\omega_{\rm u}$
$$
\omega_{\rm 3dB,CL} = (1+\beta A_0)\omega_{\rm 3dB,OL} \approx \beta A_0\omega_{\rm 3dB,OL} = \beta \omega_{\rm u}
$$
例如，希望一增益为10的闭环系统在 $5\;\rm ns$ 内到达阶跃响应最终值 $\pm 1\%$ 范围内，则：
$$
\rme^{-t/\tau} \approx \rme^{\beta A_0\omega_0} < 1\%
\qquad\Longrightarrow\qquad 
{\rm GBW} = A_0\omega_0 = 9.21{\;\rm Grad/s} \approx 1.47{\;\rm GHz}
$$

对于单极点系统，其阶跃响应的时间常数 $\tau = 1/\omega_{\rm 3dB}$，证明如下：\\
输入信号$V_{\rm in}$ 的时域与复频域为：
\begin{align*}
    &V_{\rm in}(t) = V_0 u(t)  &
    &V_{\rm in}(s) = \frac{V_0}{s}
\end{align*}
输出信号$V_{\rm out}$ 的时域与复频域为：
$$
\begin{aligned}
    V_{\rm out}(t) &= A V_0 \cdot (1-\mathrm e^{-t/\tau}) u(t) \\
    V_{\rm out}(s) &= A V_0 \cdot \left(\frac{1}{s} - \frac{1}{s+1/\tau} \right) = \frac{A V_0}{s(1+\tau s)}
\end{aligned}
$$
系统的传递函数为： 
$$
\begin{aligned}
\frac{V_{\rm out}}{V_{\rm in}}(s) &= \frac{A}{1+{\color{blue}\tau} s} \\
\frac{V_{\rm out}}{V_{\rm in}}(s) &= \frac{A}{1 + s/{\color{blue}\omega_0}}
\end{aligned}
\qquad\Longrightarrow\qquad 
\tau = \frac{1}{\omega_0} = \frac{1}{\omega_{\rm 3dB}}
$$

\paragraph{大信号响应（压摆率）}

上述单极点系统的 $\tau=1/\omega_{\rm 3dB}$ 只适用于线性电路，而在响应大信号时放大器常会产生非线性的响应\\
对于线性电路的阶跃响应，其电流从初始时刻的最大值指数衰减，输出电压指数逼近终值\\
对于一般的放大器所能输出的最大电流是有限的，在起始阶段可能无法提供足够的电流，只能维持最大电流输出\\
在此阶段输出端负载电容上的电压将线性增长，其斜率称为压摆率（Slew Rate）

线性电路阶跃响应的初始斜率与阶跃大小线性相关，如图 \ref{fig:线性电路的大信号响应} 所示\\
实际电路在输入阶跃较小时与线性电路无异，但在阶跃较大时初始阶段斜率恒定为压摆率，如图 \ref{fig:非线性电路的大信号响应} 所示

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/线性电路的大信号响应.pdf}
    \caption{线性电路的大信号响应}
    \label{fig:线性电路的大信号响应}
\end{figure}

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/非线性电路的大信号响应.pdf}
    \caption{实际电路的大信号响应}
    \label{fig:非线性电路的大信号响应}
\end{figure}

\paragraph{输出摆幅}

差动输出范围是单端输出范围的二倍，因此要求大输出摆幅时常用全差动电路\\
此外，牺牲输出摆幅也可以改善其它性能指标

\paragraph{线性}
开环运放的输入输出之间具有很大的非线性关系。改善线性性能的主要手段：
\begin{enum}
    \item 采用全差动实现方式抑制偶次谐波
    \item 对高开环增益的系统形成闭环反馈，以改善其线性性能
\end{enum}

\paragraph{噪声与失调}

运放的输入噪声与失调决定了能被较好处理的最小信号电平\\
常用运放电路中的一些器件必须使用大尺寸或大偏置电流，这会增大噪声与失调

失调（offset）是由电路元件失配产生的，在差动输入为0时仍有差动输出\\
可等效为输入端的失调电压，如图 \ref{fig:运放的输入失调} 中 $V_{\rm OS}$

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/运放的输入失调.pdf}
    \caption{运放的输入失调}
    \label{fig:运放的输入失调}
\end{figure}

\begin{quote}
很小的失调电压就会导致闭环增益严重偏离期望值
\end{quote}

\paragraph{电源噪声抑制}

利用全差动结构可以更有效地抑制电源噪声

\subsection{一级运放}

\begin{quote}
    本节内容需要完善
\end{quote}

前面章节所设计的放大器结构都可以归属为一级运放\\
一级运放通过妥善设计通常可以实现单极点近似（非主导零极点频率高于GBW）

\subsubsection{基本结构}

最基本的运放结构如图 \ref{fig:基本单级运放结构} 所示\\
在纳米电路中其增益很难超过10，带宽则通常由 $C_{\rm L}$ 决定\\
图 \ref{fig:基本单级运放结构} 左侧电路（五管OTA）可正常将输出短接至负输入端实现单位增益反馈

功耗：$I_{\rm SS} \cdot V_{\rm DD}$\\
对五管OTA电路，输出直流电平为 $V_{\rm DD} - |V_{\rm GS3}|$\\
对基本差动对电路，输出直流电平难以确定，需要共模反馈

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/基本单级运放结构.pdf}
    \caption{基本一级运放结构}
    \label{fig:基本单级运放结构}
\end{figure}

为获得高增益，可采用共源共栅结构，如图 \ref{fig:套筒式共源共栅一级运放} 所示\\
其代价是输出摆幅减小、偏置电路更复杂\\
此结构实现的单位增益反馈电路的输出摆幅过小，总是小于一个 $V_{\rm THN}$，如图 \ref{fig:套筒式共源共栅运放的单位增益反馈} 所示

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/套筒式共源共栅一级运放.pdf}
    \caption{套筒式共源共栅一级运放}
    \label{fig:套筒式共源共栅一级运放}
\end{figure}

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/套筒式共源共栅运放的单位增益反馈.pdf}
    \caption{套筒式共源共栅运放的单位增益反馈}
    \label{fig:套筒式共源共栅运放的单位增益反馈}
\end{figure}

可以采用如图 \ref{fig:套筒共源共栅结构的自偏置} 所示电路，利用输入共模来提供偏置 
$$
V_{\rm b1} = V_{\rm in,CM} - V_{\rm GS1,2} + V_{\rm GS,b1}
$$

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/套筒共源共栅结构的自偏置.pdf}
    \caption{套筒共源共栅结构的自偏置}
    \label{fig:套筒共源共栅结构的自偏置}
\end{figure}

\subsubsection{设计流程与缩放}

在选定电路结构后，通常需要确定每个晶体管的 $I_{\rm D}, V_{\rm OD}, W/L, g_{\rm m}, r_{\rm o}$\\
运放的设计流程与其性能要求密切相关，但多数情况下可按照以下流程确定电路参数： 
\begin{enum}
    \item 依据功耗要求确定 $I_{\rm D}$
    \item 依据输出摆幅或输出直流电平确定 $V_{\rm OD}$
    \item 利用 $V_{\rm OD}$ 与 $I_{\rm D}$ 确定偏置 
    \item 利用 $V_{\rm OD}$ 与 $I_{\rm D}$ 确定宽长比 $W/L$ 
    \item 依据增益与 $W/L$ 确定尺寸
\end{enum}

流程2：
\begin{enum}
\item 依据噪声要求估计负载电容 $\mathrm{Noise} = kT/C_{\rm L}$
\item 依据速度要求确定等效跨导 $\omega_{\rm u} = G_{\rm m}/C_{\rm L}$
\item 依据输出摆幅确定过驱动电压 $V_{\rm OD}$
\item 利用$G_{\rm m}$确定电流 $g_{\rm m} = 2I_{\rm D}/V_{\rm OD}$
\item 利用$G_{\rm m}$与$I_{\rm D}$确定宽长比 $W/L$
\item 依据增益要求与 $G_{\rm m}$ 确定 $r_{\rm o}$
\item 利用 $r_{\rm o}$ 与 $W/L$ 确定尺寸
\end{enum}

可以将一个现有设计线性缩放以更改其功耗、速度、噪声性能\\
只将所有晶体管的栅宽倍增，则：
\begin{enum}
\item $I_{\rm D}$ 倍增，功耗倍增
\item $g_{\rm m}$ 倍增，若 $C_{\rm L}$ 不变则 $\omega_{\rm u}$ 加倍，速度加快
\item $r_{\rm o}$ 减半，增益不变
\item $V_{\rm OD}$ 恒定，输出摆幅恒定
\item 噪声减小
\end{enum}

\subsubsection{折叠式共源共栅结构}

折叠式共源共栅差动结构如图 \ref{fig:折叠式共源共栅差动结构} 所示，相比套筒式共源共栅结构其特点为：
\begin{enum}
\item 额外的偏置电流源 $I_{\rm SS1} = I_{\rm SS2} = I_{\rm SS}/2 + I_{1,2}$ 
\item 折叠式总电流大于套筒式，功耗更大
\item 折叠式共源共栅结构可以输入更高的共模电平，从而经过设计后可以使单位增益反馈时的输出摆幅更大
\end{enum}

\begin{quote}
    图 \ref{fig:折叠式共源共栅差动结构} 中两输入管 $\rm M_1, M_2$ 的N阱可与其源极等电势
\end{quote}

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/折叠共源共栅运放结构.pdf}
    \caption{折叠式共源共栅差动结构}
    \label{fig:折叠式共源共栅差动结构}
\end{figure}

图 \ref{fig:折叠式共源共栅运放} 所示折叠式共源共栅运放的输出摆幅特性
\begin{enum}
\item 输出摆幅向下增大了一个尾电流源的 $V_{\rm OD}$
\item 由于 $\rm M_5, M_6$ 电流较大，需要增大尺寸（增大寄生电容劣化高频特性）或提高过驱动电压（减小输出摆幅）
\end{enum}

折叠式共源共栅运放的增益通常是同尺寸的套筒式共源共栅运放的$1/2\sim 1/3$
\begin{enum}
\item 同尺寸、同电流的PMOS输入管比NMOS输入管的 $g_{\rm m}$ 小 
\item $\rm M_5, M_6$ 引入了新的电阻 $r_{\rm o5}, r_{\rm o6}$ 对输入管的跨导电流起分流作用
\item 由于 $\rm M_5, M_6$ 的工作点电流大，使 $r_{\rm o5}, r_{\rm o6}$ 较小
\end{enum}


\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/折叠式共源共栅运放.pdf}
    \caption{折叠式共源共栅运放}
    \label{fig:折叠式共源共栅运放}
\end{figure}

也可采用如图 \ref{fig:NMOS输入的折叠式共源共栅运放} 所示NMOS作输入管的折叠式共源共栅结构，考虑到 $\mu_{\rm n} > \mu_{\rm p}$：
\begin{enum}
\item NMOS管的 $g_{\rm m}$ 更大，实现更大的增益
\item PMOS电流源 $\rm M_5$ 必须用更大的尺寸来承载电流，引入更大的寄生电容
\item PMOS共源共栅管 $\rm M_3$ 要有足够小的 $1/g_{\rm m3}$ 以分得更大的输入跨导电流，必须增大 $W_3$，引入寄生电容
\item 由于以上两寄生电容增大，用NMOS管作输入管的折叠式共源共栅运放的频率特性更差
\item 此外，用NMOS作输入管使闪烁噪声增大
\end{enum}

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/NMOS输入的折叠式共源共栅运放.pdf}
    \caption{NMOS输入的折叠式共源共栅运放}
    \label{fig:NMOS输入的折叠式共源共栅运放}
\end{figure}

折叠式共源共栅运放的输入共模范围更宽，且可以与输出共模相等而不限制输出摆幅\\
对于以NMOS为输入的结构，输入共模电平可以高至 $V_{\rm b2} + |V_{\rm GS3}| + V_{\rm TH1,2}$，通常可达 $V_{\rm DD}$ 以上\\
对于以PMOS为输入的结构，输入共模电平则通常可以低至 $0 \;{\rm V}$

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/折叠式共源共栅运放的反馈电路.pdf}
    \caption{折叠式共源共栅运放的反馈电路}
    \label{fig:折叠式共源共栅运放的反馈电路}
\end{figure}

\subsection{两级运放}

使用两级运放，第一级提供高增益，第二级提供大输出摆幅
\begin{enum}
\item 优点：增益很大，功耗中等
\item 缺点：每级输出端都是高阻节点引入一个低频极点，不利于闭环稳定性
\item 缺点：后级的直流工作点不易设定，可能需要采用交流耦合
\end{enum}

简单的两级运放如图 \ref{fig:简单的两级运放} 所示，第二级采用简单的共源放大器\\
其增益约为 $g_{\rm m} r_{\rm o} \cdot g_{\rm m} r_{\rm o}$，与单一共源共栅放大器相当

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.10]{figures/两级运放1.pdf}
    \caption{简单的两级运放}
    \label{fig:简单的两级运放}
\end{figure}

为得到高增益，第一级放大器采用共源共栅结构，如图 \ref{fig:采用共源共栅结构的两级运放} 所示\\
为实现单端输出，第一级采用全差动放大器，第二级采用有源电流镜，如图 \ref{fig:单端输出的两级运放} 所示

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.15]{figures/两级运放2.pdf}
    \caption{采用共源共栅结构的两级运放}
    \label{fig:采用共源共栅结构的两级运放}
\end{figure}

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.15]{figures/单端输出的两级运放.pdf}
    \caption{单端输出的两级运放}
    \label{fig:单端输出的两级运放}
\end{figure}


\subsection{Gain Boosting}


一级运放难以实现高增益，两级运放面临带宽问题，因此需要设计新的电路结构\\
Gain boosting技术的基本思想利用电流反馈是进一步增大输出阻抗，而不增加更多的共源共栅器件

\subsubsection{基本结构}

首先从反馈的角度重新分析共源共栅结构大输出电阻的本质，如图 \ref{fig:从反馈角度看共源共栅结构} 所示\\
从共源共栅管的角度看，此结构利用电流电压反馈来增大输出电阻，共源共栅管的栅极与源极分别为正负输入端\\
前向增益 $g_{\rm m2} \cdot r_{\rm o2}/(r_{\rm o1} + r_{\rm o2})$，反馈环路增益 $g_{\rm m2} \cdot (r_{\rm o1}\parallel r_{\rm o2})$\\
无反馈输出电阻在负输入端无效时可计算为 $r_{\rm o2} + r_{\rm o1}$ ，注意不能破坏原有电流路径，
详见图 \ref{fig:电流电压反馈的环路增益计算} 所示
$$
R_{\rm out} = \left[1 + g_{\rm m2} \frac{r_{\rm o1}r_{\rm o2}}{r_{\rm o1} + r_{\rm o2}}\right] \cdot (r_{\rm o1} + r_{\rm o2})
= r_{\rm o1} + r_{\rm o2} + g_{\rm m2} r_{\rm o2} r_{\rm o1}
$$

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.10]{figures/从反馈角度看共源共栅结构的输出电阻.pdf}
    \caption{从反馈角度看共源共栅结构}
    \label{fig:从反馈角度看共源共栅结构}
\end{figure}

要进一步利用反馈增大输出电阻，必须增大反馈环路增益，但此时 $r_{\rm o1}$ 很难增加\\
可行的方案是将反馈回路末端的电压信号经过放大再连接到负输入端，如图 \ref{fig:Gain Boosting基本结构} 所示\\
在正输入端前增加一个运放，构造出一个额外的负输入端，与原先的负输入端有加和关系\\
反馈环路增益 $(A_1+1)g_{\rm m2}(R_{\rm S}\parallel r_{\rm o2})$，无负反馈时的输出电阻 $r_{\rm o2} + R_{\rm S}$\\
则Gain Boosting结构的漏极电阻为：
$$
\begin{aligned}
R_{\rm out} 
&= \left[1 + (1+A_1)g_{\rm m2} \frac{R_{\rm S}r_{\rm o2}}{R_{\rm S}+r_{\rm o2}}\right] \cdot (r_{\rm o2} + R_{\rm S}) \\
&= r_{\rm o2} + R_{\rm S} + (A_1 + 1) g_{\rm m2} r_{\rm o2} R_{\rm S} \\
&\approx A_1 g_{\rm m2}r_{\rm o2}R_{\rm S}
\end{aligned}
$$
可见，Gain Boosting技术可以增大漏极输出电阻，且不损耗电压余度

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.10]{figures/Gain Boosting基本示意图.pdf}
    \caption{Gain Boosting基本结构}
    \label{fig:Gain Boosting基本结构}
\end{figure}

下面求解Gain Boosting结构的源极电阻，如图 \ref{fig:Gain Boosting的源极电阻} 所示
$$
I_X = \frac{V_X - I_X R_{\rm D}}{r_{\rm o}} + (A_1+1)g_{\rm m}
\qquad\Longrightarrow\qquad 
R_X = \frac{R_{\rm D} + r_{\rm o}}{1 + (A_1+1)g_{\rm m}r_{\rm o}}
\approx \frac{1}{(A_1+1)g_{\rm m}}
$$
可见，引入Gain Boosting后源极电阻减小

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.10]{figures/Gain Boosting的源极电阻.pdf}
    \caption{Gain Boosting的源极电阻}
    \label{fig:Gain Boosting的源极电阻}
\end{figure}

将 Gain Boosting MOS作为共源共栅结构中的共源共栅管，就可以进一步增大输出电阻，如图 \ref{fig:Gain Boosting共源共栅结构} 所示\\
其等效跨导由 $r_{\rm o1}$ 与 $\rm M_2$ 源极电阻分流决定，而后者被Gain Boosting减小可以忽略，则 $G_{\rm m} \approx g_{\rm m1}$\\
则此结构的本征增益为 $A_v \approx -g_{\rm m1} \cdot (A_1+1) g_{\rm m2}r_{\rm o2} r_{\rm o1}$\\
相比一般共源共栅结构，其增益有较大提升，而消耗的电压余度仍为 $2V_{\rm OD}$ 未增加

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.10]{figures/Gain Boosting共源共栅结构.pdf}
    \caption{Gain Boosting共源共栅结构}
    \label{fig:Gain Boosting共源共栅结构}
\end{figure}

\begin{quote}
    Gain Boosting晶体管的栅极偏置将受到负反馈影响\\
    有时Gain Boosting放大器采用单输入单输出结构，则 $\rm M_2$ 的栅极偏置完全由负反馈决定
\end{quote}

\subsubsection{电路实现}

\paragraph{单端电路}

为实现Gain Boosting技术引入的放大器，可采用图 \ref{fig:Gain Boosting的电路实现} 所示的几种结构
\begin{enum}
\item NMOS共源放大器：P点最低电压从 $V_{\rm OD1}$ 被抬升至 $V_{\rm GS3}$，电压余度额外损失了 $V_{\rm TH}$
\item PMOS共源放大器：电压余度无损失，但为使 $\rm M_2$ 不截止必须 $V_{\rm G} > V_{\rm P} + V_{\rm THN}$，使 $\rm M_3$ 容易进入线性区
\item 折叠式共源共栅：解决了 $V_{\rm G}$ 与 $V_{\rm P}$ 互相限制的问题，易于偏置
\end{enum}

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.10]{figures/Gain Boosting的电路实现.pdf}
    \caption{Gain Boosting的电路实现}
    \label{fig:Gain Boosting的电路实现}
\end{figure}

\begin{quote}
    后两种结构中 $|V_{\rm GS3}|$ 较大，电路功耗较大
\end{quote}

\paragraph{差动电路}

Gain Boosting也可用于差动电路，如图 \ref{fig:Gain Boosting差动电路} 所示\\
通常可以采用两个单端放大器，也可采用一个全差动放大器

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.10]{figures/Gain Boosting差动电路.pdf}
    \caption{Gain Boosting用于差动电路}
    \label{fig:Gain Boosting差动电路}
\end{figure}

辅助全差动放大器可以采用一般的NMOS基本差动对，但会损耗电压余度，如图 \ref{fig:Gain Boosting差动电路的具体实现} 左所示\\
也可采用折叠式共源共栅差动对，如图 \ref{fig:Gain Boosting差动电路的具体实现} 右所示

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.10]{figures/Gain Boosting差动电路的具体实现.pdf}
    \caption{Gain Boosting差动电路的具体实现}
    \label{fig:Gain Boosting差动电路的具体实现}
\end{figure}

Gain Boosting 也可用于负载电路，如图 \ref{fig:Gain Boosting用于差动电路及其负载} 所示

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.10]{figures/Gain Boosting用于差动电路及其负载.pdf}
    \caption{Gain Boosting用于差动电路及其负载}
    \label{fig:Gain Boosting用于差动电路及其负载}
\end{figure}

\subsubsection{频率响应}

引入Gain Boosting辅助放大器后，电路的频率响应变得比较复杂\\
在辅助放大器频域全通时，主放大器的$\omega_{\rm u}$不变，$A_0$ 增大而带宽减小

\begin{quote}
    参考文献：
    \href{https://doi.org/10.1007/BF00161305}%
    {Bult, K., Geelen, G.J.G.M. The CMOS gain-boosting technique. Analog Integr Circ Sig Process 1, 119–135 (1991).}
\end{quote}

\subsection{总结与对比}

几种运放结构的特点对比如表 \ref{tab:几种运放结构的特点对比} 所示

\begin{table}[htpb]
    \centering
    \caption{几种运放结构的特点对比}
    \label{tab:几种运放结构的特点对比}
    \includegraphics[scale=1.10]{figures/几种运放结构的特点对比.pdf}
\end{table}

\subsection{共模反馈}

\subsubsection{基本结构}

若一条电流通路上有两个电流源，则由于扰动导致的电流差流经电流源内阻将导致电压的较大波动\\
对于基本差动对，负载电流源与尾电流源的随机失配将导致输出共模电平有较大的波动，且有如下特征：
\begin{enum}
    \item 差动反馈不能抑制共模电平的波动
    \item 即使偏置电路设置完善，由于PVT等波动也会导致共模电平波动，可能导致运放失效
\end{enum}

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.10]{figures/共模反馈的必要性.pdf}
    \caption{共模反馈的必要性}
    \label{fig:共模反馈的必要性}
\end{figure}

可以利用负反馈来抑制共模点评的波动，称共模反馈，其基本结构如图 \ref{fig:共模反馈的基本结构} 所示\\
共模反馈的三部分：检测共模电平、与参考电平比较、将误差负反馈回系统\\
同时，在主放大器的差动输出范围内，共模反馈应对差动输出不敏感

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.10]{figures/共模反馈的基本结构.pdf}
    \caption{共模反馈的基本结构}
    \label{fig:共模反馈的基本结构}
\end{figure}

\subsubsection{共模检测}

检测共模电压可以简单地利用两个电阻并取中间节点，如图 \ref{fig:共模检测之电阻检测} 所示\\
优点：电路简单可靠，可以检测的共模电平范围极大\\
缺点：为保证差模输出电阻较大，必须保证 $R_{1,2} \gg R_{\rm out}$，电阻面积较大，且寄生电容较大

在此电路中要注意$R_{1}, R_{2}$ 所在支路对共模与差模小信号的不同作用，假如无$R_{1,2}$ 时单边电路输出电阻为 $R_{\rm out}$
\begin{enum}
\item 对差模小信号，$R_1,R_2$ 中间节点为小信号地，单边差模输出电阻 $R_{\rm out} \parallel R_{1,2}$
\item 对共模小信号，$R_1,R_2$ 两侧始终等电势，相当于两侧并联，共模输出电阻 $R_{\rm out} / 2$
\end{enum}

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.10]{figures/共模检测之电阻检测.pdf}
    \caption{利用电阻检测共模电平}
    \label{fig:共模检测之电阻检测}
\end{figure}

为改善直接利用电阻检测共模电平的缺点，可以在输出节点与电阻之间增加源跟随器做隔离，如图 \ref{fig:共模检测之源跟随器} 所示\\
这样 $R_1,R_2$ 不必用大电阻，但也具有如下问题：
\begin{enum}
\item 差动输出较大时可能使一侧源随器进入线性区，导致 $V_{\rm out,CM}$ 检测错误，必须限制主放大器的差模输出摆幅
\item 若$R_1,R_2$不够大，其上的电流会干扰两侧源跟随器的正常工作，必须仔细设计
\item 检测到的 $V_{\rm out,CM}$ 较真实值减少了 $V_{\rm GS7,8}$，这可以在后续电压比较部分处理
\end{enum}

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.10]{figures/共模检测之源跟随器.pdf}
    \caption{利用源跟随器与电阻检测共模电平}
    \label{fig:共模检测之源跟随器}
\end{figure}

\begin{quote}
    只有图 \ref{fig:共模检测之电阻检测} 所示电阻检测电路可以可靠兼容主放大器的差模输出范围，最常用\\
    此外还有不连续工作的开关电容电路可以较可靠地检测共模电平
\end{quote}

\subsubsection{共模反馈}

共模信号可以负反馈给负载电流源，也可以负反馈给尾电流源，如图 \ref{fig:共模反馈电路1},\ref{fig:共模反馈电路2} 所示\\
注意电阻 $R_1,R_2$ 对共模小信号相当于导线，对于差模小信号其中间节点才相当于虚地\\
例如，图 \ref{fig:共模反馈电路2} 电路的共模反馈环路增益为：$A g_{\rm ms} (R_{\rm out} \parallel R_{\rm out})$

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.10]{figures/共模反馈电路1.pdf}
    \caption{共模反馈电路1}
    \label{fig:共模反馈电路1}
\end{figure}

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.10]{figures/共模反馈电路2.pdf}
    \caption{共模反馈电路2}
    \label{fig:共模反馈电路2}
\end{figure}

\begin{quote}
共模反馈引入的运放一般低增益、输出电阻小，这样可以避免引入低频极点引发稳定性问题\\
即使这样，由于共模反馈环路借用了主放大器的结构，环路增益仍然很高
\end{quote}

\subsection{压摆率}

电路在面对小阶跃时输出指数逼近终值\\
电路在面对大阶跃时只能输出有限大小的电流给 $C_{\rm L}$ 充电，开始阶段输出电压线性变化，其后指数逼近

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.1]{figures/非线性电路的大信号响应.pdf}
    \caption{实际电路的大信号响应}
    \label{fig:非线性电路的大信号响应}
\end{figure}

在面对小阶跃时五管OTA电路的运行状态如图 \ref{fig:实际电路的小阶跃响应} 所示\\
输出电流正比于 $\Delta V$ 使输出电压指数逼近最终值

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.10]{figures/实际电路的小阶跃响应.pdf}
    \caption{实际电路的小阶跃响应}
    \label{fig:实际电路的小阶跃响应}
\end{figure}

在面对大阶跃时五管OTA电路的运行状态如图 \ref{fig:实际电路的大阶跃响应} 所示\\
在一侧输入管截至时输出电流达到最大值 $I_{\rm SS}$，且维持此状态直到截止的输入管重新导通
\begin{enum}
\item 在 $V_{\rm DM} > \sqrt2 V_{\rm OD}$ 时$V_{\rm out}$线性变化，$I_{\rm out} = I_{\rm SS}$
\item 在 $V_{\rm DM} < \sqrt2 V_{\rm OD}$ 时$V_{\rm out}$近似为指数逼近
\item 阶跃响应的总时间为两部分时间相加
\end{enum}

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.10]{figures/实际电路的大阶跃响应.pdf}
    \caption{实际电路的大阶跃响应}
    \label{fig:实际电路的大阶跃响应}
\end{figure}

其他一些电路的大阶跃响应如图 \ref{fig:其他电路的大阶跃响应} 所示
\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.10]{figures/其他电路的大阶跃响应.pdf}
    \caption{其他电路的大阶跃响应}
    \label{fig:其他电路的大阶跃响应}
\end{figure}

压摆率定义为 $C_{\rm L}$ 上电压随时间变化的斜率，$S_{\rm L} = I / C_{\rm L}$\\
其中 $I$ 为放大器能够提供给$C_{\rm L}$的最大电流\\
若为双边电路，则 $I$ 与 $C_{\rm L}$ 应同时采用单边值

\begin{quote}
    若输出端要输出频率为$\omega_0$幅值为 $V_0$ 的正弦波（在过零点处变化最剧烈）
    则压摆率至少为$\omega_0V_0$
\end{quote}

\section{稳定性与频率补偿}

\subsection{巴克豪森稳定性准则}

对于如图 \ref{fig:巴克豪森判据负反馈图示} 所示反馈系数为常数 $\beta$ 的负反馈系统，其闭环传递函数为
$$
\frac{Y}{X}(s) = \frac{H(s)}{1+\beta H(s)}
$$
若存在频率  $\omega_1$ 使 $\beta H(\rmj\omega_1) = -1$ 则电路对频率 $\omega_1$ 的闭环增益无穷大，系统不稳定

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.10]{figures/巴克豪森判据负反馈图示.pdf}
    \caption{负反馈系统图示}
    \label{fig:巴克豪森判据负反馈图示}
\end{figure}

巴克豪森稳定性准则不能完全判断系统稳定性，即使不存在频率 $\omega$ 使 $\beta H(\rmj\omega)=-1$，系统也可能是不稳定的\\
通常认为要使系统稳定，需要在 $|\beta H|=1$ 时 $\angle(\beta H) > -180^\circ$，如图 \ref{fig:巴克豪森稳定性准则} 所示

\begin{quote}
    若要严谨判断系统稳定性，需要使用 Nyquist稳定性判据、根轨迹图等方法
\end{quote}

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.10]{figures/巴克豪森稳定性准则.pdf}
    \caption{巴克豪森稳定性准则}
    \label{fig:巴克豪森稳定性准则}
\end{figure}

将使环路增益为1的频率称为增益交点频率，将使相移为$-180^\circ$ 的频率称为相位交点频率

\begin{quote}
    幅值交点频率是环路的单位增益频率，但不是闭环系统的单位增益频率 $\omega_{\rm u}$
\end{quote}

减小反馈系数 $\beta$ 可使幅值交点频率减小，其对应的相移也更不及$-180^\circ$，使系统更稳定，如图 \ref{fig:稳定性与环路增益} 所示\\
在 $\beta\le 1$ 条件下，单位增益反馈 $\beta=1$ 稳定性最差
\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.10]{figures/稳定性与环路增益.pdf}
    \caption{稳定性与反馈系数}
    \label{fig:稳定性与环路增益}
\end{figure}

\begin{quote}
    通常放大器闭环增益 $A_{\rm CL} = 1/\beta > 1$ 因此默认 $\beta \le 1$，则$\beta=1$是稳定性最差的情况
\end{quote}

\subsection{多极点系统}

对于单极点系统，环路中最多有 $-90^\circ$ 相移，系统稳定，如图 \ref{fig:单极点系统的Bode图} 所示\\
对于两极点系统，环路中最多有 $-180^\circ$相移，系统稳定，但接近不稳定的边缘，如图 \ref{fig:两极点系统的Bode图} 所示

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \ffigbox[\FBwidth]{
        \begin{subfloatrow}
            \ffigbox[\FBwidth]{\caption{单极点系统的Bode图}}{
                \includegraphics[scale=1.10]{figures/单极点系统的Bode图.pdf}
                \label{fig:单极点系统的Bode图}
            }
            \ffigbox[\FBwidth]{\caption{两极点系统的Bode图}}{
                \includegraphics[scale=1.10]{figures/两极点系统的Bode图.pdf}
                \label{fig:两极点系统的Bode图}
            }
        \end{subfloatrow}
    }{
    \caption{单极点与两极点系统的Bode图}
    \label{fig:单极点与两极点系统的Bode图}
    }
\end{figure}


%\begin{figure}[htpb]
%    \centering
%    \begin{subfigure}[t]{0.45\textwidth}
%        \centering
%        \includegraphics[scale=1.10]{figures/单极点系统的Bode图.pdf}
%        \caption{单极点系统的Bode图}
%        \label{fig:单极点系统的Bode图}
%    \end{subfigure}
%    \begin{subfigure}[t]{0.45\textwidth}
%        \centering
%        \includegraphics[scale=1.10]{figures/两极点系统的Bode图.pdf}
%        \caption{两极点系统的Bode图}
%        \label{fig:两极点系统的Bode图}
%    \end{subfigure}
%    \label{fig:单极点与两级点系统的Bode图}
%\end{figure}

三极点系统的环路增益与闭环增益如图 \ref{fig:三极点系统的环路增益Bode图与闭环增益} 所示，第三个极点的存在通常使系统不稳定

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \ffigbox[\FBwidth]{
        \begin{subfloatrow}
            \ffigbox[\FBwidth]{\caption{三极点系统的环路增益的Bode图}}{
                \includegraphics[scale=1.10]{figures/三极点系统的环路增益Bode图.pdf}
                \label{fig:三极点系统的环路增益Bode图}
            }
            \ffigbox[\FBwidth]{\caption{另一个三极点系统的环路增益Bode图与闭环增益}}{
                \includegraphics[scale=1.10]{figures/三极点系统的环路增益Bode图与闭环增益.pdf}
                \label{fig:三极点系统的闭环增益}
            }
        \end{subfloatrow}
    }{
    \caption{三极点系统的环路增益Bode图与闭环增益}
    \label{fig:三极点系统的环路增益Bode图与闭环增益}
    }
\end{figure}

\begin{quote}
由于在极点频率的1/10处相位就开始变化，而在极点频率附近才有增益幅值下降\\
通常多出的极点（零点）对相位的影响更大，使系统稳定性劣化
\end{quote}

\subsection{相位裕度}

在单位增益频率处，环路相移距离界限 $-180^\circ$ 的差距称为稳定裕度 $\mathrm{PM} = \angle \beta H(\rmj\omega_{\rm 1})$\\
通常希望稳定裕度在 $60^\circ\sim 70^\circ$ 左右，既满足稳定性要求，又有较好的响应速度\\
稳定裕度过小使系统对某些频率增益过大，在幅频特性曲线上产生尖峰，其阶跃响应欠阻尼减幅振荡\\
稳定裕度过大虽然使系统很稳定，但时域响应速度太慢

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.10]{figures/相位裕度与阶跃响应.pdf}
    \caption{相位裕度与阶跃响应}
    \label{fig:相位裕度与阶跃响应}
\end{figure}

例如某系统的稳定裕度为 $5^\circ$，则在环路单位增益频率 $\omega_1$ 处 $\beta H(\rmj\omega_1) = \exp(-175^\circ)$\\
可以求得闭环系统在 $\omega_1$ 附近存在增益尖峰
$$
\left|\frac{Y}{X}(\rmj\omega_1)\right| 
= \left|\frac{1}{\beta} \frac{\beta H(\rmj\omega_1)}{1+\beta H(\rmj\omega_1)}\right|
= \left|\frac{1}{\beta} \frac{-0.9962-\rmj0.0872}{0.0038-\rmj0.0872}\right|
= \frac{11.5}{\beta}
$$
增大相位裕度后，幅频特性中的尖峰就可被压制以至于消除，如图 \ref{fig:不同稳定裕度系统的幅频特性与阶跃响应} 所示

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.10]{figures/稳定裕度、幅频特性、阶跃响应.pdf}
    \caption{不同稳定裕度系统的幅频特性与阶跃响应}
    \label{fig:不同稳定裕度系统的幅频特性与阶跃响应}
\end{figure}

\begin{quote}
    实际放大器的阶跃响应受到压摆率与非线性的影响，在瞬态过程中可能引起零极点频率变化，产生复杂的时域响应。
    即使有较大的稳定裕度，其大信号阶跃响应也可能出现欠阻尼减幅振荡。
    因此大信号应用中直接对闭环系统做瞬态仿真更加恰当
\end{quote}

通常系统有主导极点，则环路次极点频率$\omega_{\rm p2}$ 与单位增益频率 $\omega_{\rm u}$ 的倍数关系将决定相位裕度：
\begin{enum}
\item $\omega_{\rm p2} = \omega_{\rm u}$ 则$\mathrm{PM} = 45^\circ$
\item $\omega_{\rm p2} = 2\omega_{\rm u}$ 则 $\mathrm {PM} = 63^\circ$
\item $\omega_{\rm p2} = 3\omega_{\rm u}$ 则 $\mathrm {PM} = 72^\circ$
\end{enum}

\subsection{单级运放频率补偿}

常用运放电路通常极点较多，常需要改造其开环传递函数来使闭环系统具有较好的稳定性能与时域性能\\
这样的操作称为频率补偿，通常具有两种方案，如图 \ref{fig:两种频率补偿方法} 所示
\begin{enum}
    \item 使开环相移在更高频率处才达到 $-180^\circ$，也即提高非主导极点的频率或减少非主导极点（减少级联级数）\\
          这会牺牲低频增益与输出摆幅
    \item 使开环增益在更小频率处就达到 $1$，也即降低主导极点的频率（牺牲带宽）
\end{enum}

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.10]{figures/两种频率补偿方法.pdf}
    \caption{两种频率补偿方法}
    \label{fig:两种频率补偿方法}
\end{figure}

\subsubsection{基本思路}

在电路设计中都会在满足设计要求的前提下采用最少的级联数，因此频率补偿通常要减小增益交点频率\\
下面以图 \ref{fig:频率补偿示例电路及其极点分布} 所示电路为例说明频率补偿的基本方法，假定为最坏情况 $\beta=1$，
要求有$45^\circ$ 的相位裕度\\
依据以上条件设计补偿后系统的Bode图

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \begin{varwidth}{\textwidth}
        \includegraphics[scale=1.10]{figures/频率补偿示例电路.pdf}
    \end{varwidth}
    \qquad
    \begin{varwidth}{\textwidth}
        \includegraphics[scale=1.10]{figures/频率补偿示例电路的极点分布.pdf}
    \end{varwidth}
    \caption{频率补偿示例电路及其极点分布}
    \label{fig:频率补偿示例电路及其极点分布}
\end{figure}

首先找出电路中的主导极点与非主导极点，极点的 $RC$ 值越大则频率越低
\begin{enum}
    \item 输出节点具有较大的负载电容 $C_{\rm L}$ 与较高的输出电阻 $R_{\rm out}$，因此是主导极点
    \item 镜像节点A的电容较大，是高频极点中频率最小的一个
    \item 节点N两侧为PMOS，承载同等电流是需设计更大尺寸，因此寄生电容更大，极点频率比XY节点低
    \item 节点X与Y几乎完全一致，它们在两通路的传递函数中的相应项均可作为公因子提出，应视为同一极点
\end{enum}

在给定的 $\beta=1$ 条件下绘制环路增益 $\beta H$ 的Bode图，如图 \ref{fig:频率补偿示例电路的环路增益Bode图} 所示\\
在补偿后主导极点 $\omega_{\rm p1}$ 减小使增益交点频率减小，但对相位交点频率无影响，
如图 \ref{fig:频率补偿示例电路改进后环路增益Bode图} 所示

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \ffigbox[\FBwidth]{
        \begin{subfloatrow}
            \ffigbox[\FBwidth]{\caption{初始的环路增益Bode图}}{
                \includegraphics[scale=1.10]{figures/频率补偿示例电路的环路增益Bode图.pdf}
                \label{fig:频率补偿示例电路的环路增益Bode图}
            }
            \ffigbox[\FBwidth]{\caption{补偿后环路增益Bode图}}{
                \includegraphics[scale=1.10]{figures/频率补偿示例电路改进后环路增益Bode图.pdf}
                \label{fig:频率补偿示例电路改进后环路增益Bode图}
            }
        \end{subfloatrow}
    }{
    \caption{初始时与补偿后的环路增益Bode图}
    \label{fig:初始时与补偿后的环路增益Bode图}
    }
\end{figure}

下面确定幅频曲线怎样变化才能满足稳定裕度 $45^\circ$ 的要求\\
由于相频特性的关键部分不受补偿的影响，
可利用图 \ref{fig:频率补偿示例路确定补偿后的主导极点频率} 中的方法确定补偿后的主导极点频率 $\omega_{\rm p,out}'$\\
在 $\beta$ 取不同值时，
按照图 \ref{fig:频率补偿示例电路其他反馈系数时确定补偿后的主导极点频率} 所示方法确定补偿后的主导极点频率$\omega_{\rm p1}''$\\
至此，已经得到补偿后系统的Bode图

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \ffigbox[\FBwidth]{
        \begin{subfloatrow}
            \ffigbox[\FBwidth]{\caption{反馈系数$\beta=1$时}}{
                \includegraphics[scale=1.10]{figures/频率补偿示例电路确定补偿后的主导极点频率.pdf}
                \label{fig:频率补偿示例路确定补偿后的主导极点频率}
            }
            \ffigbox[\FBwidth]{\caption{反馈系数$\beta$取其他值时}}{
                \includegraphics[scale=1.10]{figures/频率补偿示例电路其他反馈系数时确定补偿后的主导极点频率.pdf}
                \label{fig:频率补偿示例电路其他反馈系数时确定补偿后的主导极点频率}
            }
        \end{subfloatrow}
    }{
    \caption{确定频率补偿后的主导极点频率}
    \label{fig:确定频率补偿后的主导极点频率}
    }
\end{figure}

由于主导极点频率 $\omega_{\rm p,out} = 1/(R_{\rm out}C_{\rm L})$，
可以增大 $C_{\rm L}$ 来降低 $\omega_{\rm p,out}$ 至 $\omega_{\rm p,out}'$，从而实现目标Bode图\\
增大 $R_{\rm out}$ 虽可降低 $\omega_{\rm p,out}$ 但无法实现频率补偿，因为这也增大了低频增益从而增益交点频率不变，
如图 \ref{fig:频率补偿无法通过增大输出电阻实现}

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.10]{figures/频率补偿无法通过增大输出电阻实现.pdf}
    \caption{频率补偿无法通过增大输出电阻实现}
    \label{fig:频率补偿无法通过增大输出电阻实现}
\end{figure}

\subsubsection{参数设计}

利用以上方式可确定补偿后系统的完整Bode图，并利用主导极点频率改变来计算所需 $C_{\rm L}$\\
由于补偿后系统符合单极点近似，相位裕度由 $\omega_{\rm p2}$ 与 $\omega_{\rm u}$ 的倍数关系决定\\
若要 $\mathrm{PM}=63^\circ$ 则 $\omega_{\rm p2}=2\omega_{\rm u}$，
若要 $\mathrm{PM}=72^\circ$ 则 $\omega_{\rm p2}=3\omega_{\rm u}$\\
增大 $C_{\rm L}$ 的频率补偿对 $\omega_{\rm p2}$ 无影响，根据 $\omega_{\rm p2}$ 可确定补偿后电路的 $\omega_{\rm u}$\\
一般补偿后的电路符合单极点近似，有 $\omega_{\rm u} = \mathrm{GBW} = G_{\rm m}/C_{\rm L}$，可确定 $C_{\rm L}$

对图 \ref{fig:频率补偿示例电路及其极点分布} 所示电路，
$\omega_{\rm u} = g_{\rm m1}/C_{\rm L}$，$\omega_{\rm p2} = g_{\rm m5}/C_{\rm A}$\\
由此可直接解出 $C_{\rm L}$ 的值

\subsubsection{闭环响应速度}

所要求的相位裕度一定时，$\beta$更小的系统可允许更大的主导极点频率，但这不意味着闭环响应速度更高\\
若 $\beta=1$ 的反馈系统可以允许 $\omega_0$ 的主导极点频率，则$\beta=\beta_0$ 的系统可以允许 $\omega_0/\beta_0$ 的主导极点频率\\
形成闭环时系统带宽在增大为环路带宽的$1+\beta A \approx \beta A$ 倍，从而两者的闭环带宽均为$A\omega_0$\\
也就是说，相位裕度一定时闭环响应速度与 $\beta$ 无关 

\subsubsection{共源共栅全差动电路的极点}

对于图 \ref{fig:套筒式共源共栅全差动电路} 所示套筒式共源共栅全差动电路，需对其极点分布做特殊说明
\begin{enum}
    \item 输出极点仍为主导极点，信号通路上的XY节点是唯一的次极点，且次极点频率较高
    \item 共源共栅电流源负载中的NK节点不产生极点，而是合并到主导极点中，使主导极点频率略微下降
    \item 全差动电路的稳定性与响应速度均远好于单端电路
\end{enum}

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.10]{figures/套筒式共源共栅全差动电路.pdf}
    \caption{套筒式共源共栅全差动电路}
    \label{fig:套筒式共源共栅全差动电路}
\end{figure}

可以认为信号无法感受到共源共栅电流源负载中的极点\\
下面说明这个被遮蔽极点使输出极点频率下降的作用，如图 \ref{fig:共源共栅电流镜的极点} 所示\\
$$
\begin{aligned}
Z_{\rm out} \parallel \frac{1}{C_{\rm L}s}
&= \left[(1+g_{\rm m5}r_{\rm o5})\left(r_{\rm o7}\parallel \frac{1}{C_{\rm N}s}\right)\right] \parallel \frac{1}{C_{\rm L}s}\\
&= \frac{(1+g_{\rm m5}r_{\rm o5})r_{\rm o7}}{1+[(1+g_{\rm m5}r_{\rm o5})r_{\rm o7}C_{\rm L}+{\color{blue}r_{\rm o7}C_{\rm N}}]s}
\end{aligned}
$$
其中分子是低频输出电阻，分母中$[(1+g_{\rm m5}r_{\rm o5})r_{\rm o7}C_{\rm L}]^{-1}$是不考虑$C_{\rm N}$ 影响时的输出极点频率\\
分母中 ${\color{blue}r_{\rm o7}C_{\rm N}}$ 项为共源共栅节点对输出极点频率的影响，这使输出极点频率略微降低

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.10]{figures/共源共栅电流镜的极点.pdf}
    \caption{共源共栅电流镜的极点}
    \label{fig:共源共栅电流镜的极点}
\end{figure}

\subsection{两级运放的频率补偿}

要实现大输出摆幅、低压工作等性能，有时必须采用两级运放

首先分析图 \ref{fig:两级运放的频率补偿} 所示两级运放的极点分布
\begin{enum}
\item XY节点的$R,C$均较小，是高频极点 $\omega_{\mathrm p,X}$
\item EF节点的$R$极大，是低频极点 $\omega_{\mathrm p,E}$
\item AB节点的$R$虽没有EF点大，但 $C_{\rm L}$ 很大，是低频极点 $\omega_{\mathrm p,A}$
\item 电路有两个低频极点，且通常 $\omega_{\mathrm p,E} \approx \omega_{\rm p,A}$
\end{enum}

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.10]{figures/两级运放的频率补偿.pdf}
    \caption{两级运放电路}
    \label{fig:两级运放的频率补偿}
\end{figure}

\subsubsection{密勒补偿}

如果要有$45^\circ$以上的相位裕度，环路单位增益频率就必须小于第二个极点的频率\\
若单纯地减小 $\omega_{\rm p,E}$ 则受到 $\omega_{\rm p,A}$ 的限制带宽将会很小，且需要很大的补偿电容\\
可以利用第二级反相放大器构造密勒电容，用一个中等大小的电容器建立低频极点，称为密勒补偿\\
同时下面可以看到，密勒补偿不仅可以降低 $\omega_{\rm p,E}$，还可以推高 $\omega_{\rm p,A}$，从而保证了一定的带宽

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.10]{figures/密勒补偿.pdf}
    \caption{密勒补偿示意图}
    \label{fig:密勒补偿示意图}
\end{figure}

用图 \ref{fig:两级运放的密勒补偿简化模型} 说明密勒补偿的具体作用，其中第一级运放被戴维宁等效为 $V_{\rm in}, R_{\rm S}$\\
第一级输出节点所对应的极点频率可利用密勒近似获得
$$
\omega_{\rm p1} \approx \frac{1}{R_{\rm S}\big[(1+g_{\rm m9}R_{\rm L})C_{\rm C}+C_E\big]}
$$
第二级输出节点所对应的极点频率可假令高频下 $C_{\rm C}$ 短路获得（未补偿时 $\omega_{\rm p2} = 1/C_{\rm L}R_{\rm L}$）
$$
\omega_{\rm p2} \approx \left[\left(\frac{1}{g_{\rm m9}}\parallel R_{\rm S} \parallel R_{\rm L}\right) \cdot 
(C_{\rm L}+C_{\rm E})\right]^{-1}
\approx \frac{g_{\rm m9}}{C_{\rm L}}
$$
因此，密勒补偿为第一级输出极点引入大的密勒电容，使 $\omega_{\rm p1}$ 大大减小\\
密勒补偿使第二级输出电阻大大降低，使 $\omega_{\rm p2}$ 大大提高

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.10]{figures/密勒补偿电路图.pdf}
    \caption{两级运放的密勒补偿简化模型}
    \label{fig:两级运放的密勒补偿简化模型}
\end{figure}

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.10]{figures/密勒补偿的极点分离作用.pdf}
    \caption{密勒补偿的极点分离作用}
    \label{fig:密勒补偿的极点分离作用}
\end{figure}

\subsubsection{消除右半平面零点}

密勒补偿电容 $C_{\rm C}$ 所在支路是并联于主通路的另外一条前向通路，将会形成一个右半平面极点
$$
V_{\rm in} g_{\rm m} = V_{\rm in} (C_{\rm C}+C_{\rm GD9})s_{\rm z}
\qquad\Longrightarrow\qquad 
\omega_{\rm z} = +\frac{g_{\rm m}}{C_{\rm C} + C_{\rm GD9}}
$$
可见，这是一个频率较低的右半平面零点

右半平面零点既会延迟幅频曲线下降，又会加速相移，因此会严重损害闭环系统稳定性\\
可以在补偿电容所在支路串联电阻 $R_{\rm z}$ 来改变零点频率、使之消除或与极点抵消，如图 \ref{fig:密勒补偿消除零点} 所示
$$
V_{\rm in}g_{\rm m} = V_{\rm in}\cdot\frac{1}{R_{\rm z} + 1/C_{\rm C}s}
\qquad\Longrightarrow\qquad 
\omega_{\rm z} = s_{\rm z} = \frac{1}{C_{\rm C}(g_{\rm m9}^{-1} - R_{\rm z})}
$$
若要$\omega_{\rm z}$ 移动到 $\infty$ 消失需要 $R_{\rm z} = 1/g_{\rm m9}$\\
若要$\omega_{\rm z}$ 移动到左半平面第一个次极点则：
$$
\frac{1}{C_{\rm C}(g_{\rm m9}^{-1} - R_{\rm z})} = -\frac{g_{\rm m9}}{C_{\rm L}+C_{\rm E}}
\qquad\Longrightarrow\qquad 
R_{\rm z} = \frac{C_{\rm L}+C_{\rm E}+C_{\rm C}}{g_{\rm m9}C_{\rm C}}
\approx \frac{C_{\rm L}+C_{\rm C}}{g_{\rm m9}C_{\rm C}}
$$

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.10]{figures/密勒补偿消除零点.pdf}
    \caption{密勒补偿消除零点}
    \label{fig:密勒补偿消除零点}
\end{figure}

\begin{quote}
    通常 $R_{\rm z}$ 用线性区的MOS管实现
\end{quote}

\subsubsection{参数设计}

无论是何种补偿方法，其本质都是调整 $\omega_{\rm p2}$ 与 $\omega_{\rm u}$ 的倍数关系\\
一般来说要实现较好的相位裕度，都符合单极点近似（$\omega_{\rm p2}>\omega_{\rm u}$），
此时 $\omega_{\rm u}\approx \mathrm{GBW} = A\cdot\omega_{\rm p1}$\\
若要 $\mathrm{PM}=63^\circ$ 则 $\omega_{\rm p2}=2\omega_{\rm u}$，
若要 $\mathrm{PM}=72^\circ$ 则 $\omega_{\rm p2}=3\omega_{\rm u}$

对于两级运放，假定两级的等效跨导分别为 $G_{\rm m1}, G_{\rm m2}$\\
$$
\begin{aligned}
&\omega_{\rm p2} = \frac{G_{\rm m2}}{C_{\rm L}} \\
&\omega_{\rm u} \approx \mathrm{GBW} = A_1A_2\omega_{\rm p1} = A_1A_2 \frac{1}{A_2C_{\rm C}\cdot R_{\rm out1}} 
= \frac{G_{\rm m1}}{C_{\rm C}}
\end{aligned}
$$
依据所要求的相位裕度可得 $\omega_{\rm p2}$ 与 $\omega_{\rm u}$ 的倍数关系，进而求出 $C_{\rm C}$

之后设计 $R_{\rm z}$ 的值，使 $\omega_{\rm z} = \omega_{\rm p2}$
\begin{align*}
&\omega_{\rm z} = \frac{1}{C_{\rm C} (G_{\rm m2}^{-1}-R_{\rm z})} &
&\omega_{\rm p2} = \frac{G_{\rm m2}}{C_{\rm L}} 
\end{align*}


\subsection{其它问题}

两级运放的主导极点对应于第一级输出节点，次极点是第二级输出极点\\
增大 $C_{\rm L}$ 会使次极点频率降低，可能会使系统不稳定，这与一级运放情况相反，
如图 \ref{fig:负载电容对一级、两级运放稳定性的影响} 所示

\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[scale=1.10]{figures/负载电容对不同种运放稳定性的影响.pdf}
    \caption{负载电容对一级、两级运放稳定性的影响}
    \label{fig:负载电容对一级、两级运放稳定性的影响}
\end{figure}

